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Einfache Extremwertprobleme

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: maximales Volumen, Schachtel

suan22 aktiv_icon

20:06 Uhr, 15.06.2009

Hallo Leute, ich habe da ein Problem mit meinen Mathe Hausaufgaben, könntet ihr mir bitte weiterhelfen??
Aus einem Stück Pappe der Länge 16cm und der Breite 10cm werden an den Ecken der Quadrate der Seitenlänge

x

ausgeschnitten und die überstehenden Teile zu einer nach oben geöffneten Schachtel hochgebogen. Für welchen Wert von

x

wird das Volumen der Schachtel maximal? Wie groß ist das maximale Volumen?

Also ich bin wie folgt rangegangen:

x

Länge = 16cm

y

Breite = 10cm
(4mal) xQ ausgeschnitten
gesucht:

V - \to max

?

Hauptbedingung:

V = x^{3}

Nebenbedingung:

U = 2 x + 2 y

= 2 x + 2 y

-(4xQ)

= 2 x + 2 y - 16 x

= 52 - 16 x + 16 x

16 x = 52 : 16

x = 3,25

NB in HB:

V = {3,25}^{3}

V=34,33cm^3

stimmt das so? oder liege ich da ganz falsch?
Vielen Dank schon mal im voraus

=)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Leuchtturm aktiv_icon

20:23 Uhr, 15.06.2009

V=Länge*Breite*Höhe

Länge=16-2x
Breite=10-2x
Höhe=x

V = (16 - 2 x) \cdot (10 - 2 x) \cdot x

V = (160 - 52 x + 4 x^{2}) \cdot x

V = 160 x - 52 x^{2} + 4 x^{3}

sortiert:

V (x) = 4 x^{3} - 52 x^{2} + 160 x

V´(x)=12

x^{2} - 104 x + 160

12 x^{2} - 104 x + 160 = 0

12 x^{2} - 104 x = - 160 | : 12

x^{2} - 8 \frac{2}{3} x = - 13 \frac{1}{3}

x^{2} - 8 \frac{2}{3} x + {(4 \frac{1}{3})}^{2} = - 13 \frac{1}{3} + {(4 \frac{1}{3})}^{2}

{(x - 4 \frac{1}{3})}^{2} = - \frac{120}{9} + \frac{169}{9}

{(x - 4 \frac{1}{3})}^{2} = \frac{49}{9} | \sqrt{}

x - 4 \frac{1}{3} = \pm \sqrt{\frac{49}{\sqrt{9}}}

x_{1} = \frac{7}{3} + 4 \frac{1}{3} = 6 \frac{2}{3}

x_{2} = 2

Als Lösung kommt nur

x = 2

in Betracht, weil bei

x = 6 \frac{2}{3}

die

10

cm lange Seite ins Negative verschwinden würde.

Das Volumen beträgt:

V = 12 \cdot 6 \cdot 2 = 144 c m^{2}

suan22 aktiv_icon

20:31 Uhr, 15.06.2009

Hallo Leuchtturm,
erstmal vielen Dank für deine Bemühungen, aber ich kann irgendwie nicht so wirklich nachvollziehen was du da gemacht hast. Ich glaub die Höhe spielt da auch keine Rolle...

Leuchtturm aktiv_icon

20:40 Uhr, 15.06.2009

So ne Schachtel ist für mich ein Quader und das Volumen eines Quaders berechnet man nun mal mit Länge*Breite*Höhe.
Die Höhe ist

x,

weil ja

x

cm schließlich "hochgeklappt" werden. Durch die Schnitte, "verkürzt" sich die Länge der Pappe an beiden Seiten um je

x

cm, also Länge gleich

16 - 2 x

. In der Breite der Pappe passiert das Gleiche also

10 - 2 x

.
Naja und dann nehme ich mir halt die Volumenformel und setz den Krempel ein. Herauskommt eine Formel

V

in Abhängigkeit von

x,

kurz

V (x)

. Da wir ein Maximum berechnen sollen, bilde ich die 1. Ableitung V´(x), setze diese

= 0

und rechne das dann mit altbekannten Verfahren aus. Ich hab dazu die quadratischen Ergänzung benutzt. Du kannst aber von mir aus auch die pq-Formel benutzen.

suan22 aktiv_icon

16:57 Uhr, 16.06.2009

ahh stimmt.. oh man ist ja jetzt voll logisch. Vielen Dank nochmal

=)

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