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Einfache Verständnisfragen zum Beweis/Analysis

Schüler

Tags: Beweisführung

 
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Mathlover09

Mathlover09 aktiv_icon

03:03 Uhr, 24.07.2010

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Hallo,

Ich bin mir im Moment ziemlich unsicher bei einer Aufgabe, folgendes:

Man beweise:
Sind M und M' zwei nichtleere Mengen reeler Zahlen und gilt x≤x' für beliebige x∈M und beliebige x'∈M', so folgt das Supremum von M ist kleiner gleich dem Infimum von M'.

Mein Lösungsansatz wäre folgender:
x<=Supremum(M) und x'>=Infimum(M')
Somit folgt aus x≤x':
Supremum(M)=Infimum(M') was allerdings falsch ist.. Richtig wäre ja Supremum(M)<=Infimum(M')

Allerdings bedeutet soweit ich es verstanden habe, die Aussage x≤x', dass auf dem Zahlenstrang, die Menge M genau bis zu einer bestimmten Zahl (z.B. 1) verläuft und danach (ab 1 im Beispiel) die Menge M' beginnt. (Somit wäre im Beispiel Supremum(M)=1 und Infimum(M')=1=Supremum(M). Wäre Supremum(M) hingegen 0 und Infimum(M')=1, so wäre zwar Supremum(M)<Infimum(M').
Gleichzeitig gälte aber nicht mehr, wie vorgegeben, x≤x' sondern x<x')

Oder habe ich es falsch verstanden und x≤x' bedeutet nicht, dass M und M' ein gleiches Element besitzen müssen, sondern können? Also dass auch x<x' gelten kann?

Ich hoffe ich habe mein Problem verständlich geschildert ;-)

mfg ML

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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mokaan

mokaan aktiv_icon

14:38 Uhr, 24.07.2010

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Hi Mathlover09!
Du hast deinen Beweis durchaus richtig geführt. Denn x≤y bedeutet, dass entweder x<y oder x=y gilt. Zwangläufig muss es kein Element x geben mit x∈M und x∈M' geben.
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anonymous

anonymous

14:43 Uhr, 24.07.2010

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Moin,

also x≤x' bedeutet nicht, dass es mindestens ein x und ein x' geben muss, für die x=x' ist! Das kann zwar sein, muss aber nicht. x≤x' bedeutet lediglich, dass x höchstens so groß ist wie x', also nicht größer als x'.

Falls es ein x gibt, für das x=x' ist, so hast du recht und dieses x ist gleichzeitig Infinum und Supremum, dann ist es ja genau das Grenzelement.

Nun noch:

Zitat: "

x<=Supremum(M) und x'>=Infimum(M')
Somit folgt aus x≤x':
Supremum(M)=Infimum(M') "

Das ist falsch! Wieso sollte das daraus folgen? Ein Beispiel:

M=[0;1],M'=[10;11]. Es gilt die Vorraussetzung, dass x∈M≤x'∈M' (für alle x,x'∈M, bzw. M') ist. Sup(M) ist 1, Inf(M') ist 10. Also ist nicht Sup(M)=Inf(M').

Falls du die Aussagen verbindest, erhälst du nur:

Sup(M) ≥x≤x'≥ Inf(M')

Diese Ungleichheitskette läßt aber keine direkte Aussage über Sup(M) und Inf(M') zu. Das ist so, da nicht alle Ungleichheitszeichen in die gleiche Richtung zeigen, und man somit keinen Schluss ziehen kann. Für mein Beispiel sieht das so aus:

1≥0,5≤10,231≥10

Wo folgt hier, dass 1=10 ist? :-)

Grüße, IP

PS: Beweise es mit nem Widerspruch: Was folgt, wenn Sup(M) > Inf(M') wäre?
Mathlover09

Mathlover09 aktiv_icon

17:05 Uhr, 24.07.2010

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Ok, dann ist es mir denke ich klar ;-)

Lösung sollte also sein:

Wäre die Aussage Supremum(M) ≤ Infimum(M') falsch,, so wäre Supremum(M)>Infimum(M').

Da Supremum(M) ∈M und Infimum(M') ∈M' müsste mindestens ein x1∈M und mindestens ein x1'∈M' existieren, sodass x1>x1'. Dies steht im Widerspruch zu x≤x'
⇒ Die Aussage Supremum(M) ≤ Infimum(M') ist richtig.

Stimmt das so?
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hagman

hagman aktiv_icon

22:50 Uhr, 24.07.2010

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Nein. Supremeum(M) in M und Infimum(M) in M stimmt nicht.
Dagegen gilt:
Für jede Zahl a∈ℝ mit a< Supremum(M) gibt es ein x∈M mit x>a.
Für jede Zahl b∈ℝ mit b> Infimum(M') gibt es ein x'∈M' mit x'<b.

Unter der Annahme Infimum(M') < Supremum(M) kannst du a= Infimum(M') wählen.
Das liefert ein x∈M mit x> Infimum(M').
Wähle dieses x als b bei der zweiten Aussage
Mathlover09

Mathlover09 aktiv_icon

21:50 Uhr, 25.07.2010

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Also nocheinmal ein Versuch, hoffentlich endlich richtig

Es gelte die Annahme Infimum(M')<Supremum(M).Für ein a<Supremum(M) exestiert mindestens (Kann man dass mindestens eigendlich weglassen?) ein x>a.
Sei a=Infimum(M')
⇒ Infimum(M')<x

Für b>inf(M') exestiert ein x'<b.

Wählt man b=x, da Infimum(M')<b und Infimum(M')<x, so folgt:
x'<x
Ein Widerspruch zu x'≥x⇒ Supremum(M)<=Infimum(M')

Stimmt es nun?
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

22:38 Uhr, 25.07.2010

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Man sollte schon sagen, dass die als existent behaupteten x und x' abgesehen von der Ungleichung, die sie erfüllen, auch in M bzw. M' liegen.
Kürzer geht es letztlich so:

Seien M,M' nichtleer und für alle x∈M und x'∈M' gelte x'≥x.
Angenommen, Infimum(M') < Supremum(M).
Dann ist Infimum(M) kleiner als die kleinste obere Schranke von M und folglich selbst keine obere Schranke von M, also gibt es ein x∈M mit Infimum(M') <x.
Dann ist x größer als die größte untere Schranke und folglich selbst keine untere Schranke von M', also gibt es ein x'∈M' mit x'<x.
Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung.
Folglich Infimum(M') ≥ Supremum(M).