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Elementare Kreisteile

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie berechne ich den Flächeninhalt eines Kreissegments und eines Kreissektors?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)
Kreis (Mathematischer Grundbegriff)
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)
Gegeben: A (Flächeninhalt Kreisausschnitt), r (Radius)
Gesucht: b (Kreisbogen), α (Mittelpunktswinkel)

Beispiel

Gegeben: A=20cm2,r=4cm

Formel für den Kreisausschnitt nach b umstellen:

A=rb2b=2Ar

b=2204=10cm

Formel für den Kreisbogen nach α umstellen:

b=πrα180α=b180πr

b=10180π4143,24
Gegeben: r (Radius) und h (Höhe Segment) oder h und s (Kreissehne) oder s und r
Gesucht: A (Flächeninhalt Kreissegment)

Beispiel

Gegeben: r=4cm,h=2cm

Der Flächeninhalt des Kreissegments ist die Fläche des Kreissektors minus die Fläche des Dreiecks das die Kreissehne mit dem Kreismittelpunkt bildet.

Aus der Formel für den Flächeninhalt des Kreissegments

A=πr2α360-s(r-h)2

ist ersichtlich, dass man zwei unbekannte Variablen bestimmen muss: s (Kreissehene) und α (Mittelpunktswinkel)

Für die Kreissehne benutzt man den Satz des Pythagoras auf das Dreieck MAB (M ist Kreismittelpunkt, A Mittelpunkt der Kreissehne, B Endpunkt des Kreisbogens).

Es gilt:

MB2=AB2+MA2r2=(s2)2+(r-h)2

Nach s auflösen:

s=4(r2-(r-h)2)

s=4(42-(4-2)2)=486,93cm

Der Mittelpunktswinkel wird über die Winkelfunktion sin(α2)=s2r ermittelt:

sin(α2)=6,93240,87

α2=60,03

α=120,06
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