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Epsilon delta kriterium

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: epsilon umgebung, Stetigkeit

caglacel aktiv_icon

15:18 Uhr, 07.12.2016

Hallo leute ich kommt mit der

ε - δ

definition nicht so zurecht.
Ich hab hier eine aufgabe: zeige via

ε -

deltha definition, dass

f (x) := \frac{x - 2}{x^{2} + 3} \in x = 0

und

x = 5

stetig ist dh man gebe zu

ε > 0

jeweils ein passendes

δ > 0

Wie muss ich hier rangehen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

15:25 Uhr, 07.12.2016

Hallo
schreib doch erstmal die Def der Stetigkeit bei

x = 0

und

x = 5

auf
dann bring was bei

f (x_{0} + δ) - f (x_{0})

auf den Hauptnenner und überlege ob du ein zu

ε

passendes

δ

findest. du kannst

z . B

erstmal ein vorläufiges

δ \leq 0,5

für die Abschätzung nehmen.
Gruß ledum

caglacel aktiv_icon

15:33 Uhr, 07.12.2016

So recht verstanden habe icj das leider nicht

caglacel aktiv_icon

16:55 Uhr, 07.12.2016

Also
Beh: für alle

ε > 0

existiert

δ > 0

Bew:

| x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - f (x_{0}) < ε

| f (x) - f (x_{0}) | = | (\frac{x - 2}{x^{2} + 3}) - (\frac{0 - 2}{0^{2} + 3}) | = | ((x - 2) : (x^{2} + 3)) + (\frac{2}{3}) |

Und jetzt muss ich ja nach

| x - x_{0} | < ε

ordnen wie mach ich das

caglacel aktiv_icon

16:58 Uhr, 07.12.2016

Wie bekomm ih die brüche weg und die beträge in dreiecksglrichungen ?

pwmeyer aktiv_icon

16:59 Uhr, 07.12.2016

Hallo,

Du mussst erstmal auf den Hauptnenner bringen.

Gruß pwm

caglacel aktiv_icon

17:05 Uhr, 07.12.2016

Wie bring ich denn

| (\frac{x - 2}{x^{2} + 3}) + (\frac{2}{3}) |

auf einen nenner?

pwmeyer aktiv_icon

17:06 Uhr, 07.12.2016

Wie rechnest Du denn

\frac{5}{7} + \frac{2}{9}

caglacel aktiv_icon

17:12 Uhr, 07.12.2016

Das heusst ich muss 2 und 3 mal

(x^{2} + 3)

revhnen?

caglacel aktiv_icon

17:38 Uhr, 07.12.2016

Habe jetzt beides auf den gleichen nenner gebracht und mit einander addiert:

(\frac{3 x + 2 x^{2}}{3 x^{2} + 9})

Was muss ich nun machen

caglacel aktiv_icon

19:06 Uhr, 07.12.2016

???kann mir wer weiterhelfen?

ledum aktiv_icon

21:27 Uhr, 07.12.2016

Hallo
jetzt suchst du ein

δ

da das ja für

{x - x_{0} | = | x | < δ <

Epsilon sein soll.
wähl erst man

δ \leq 1

dann ist der Bruch

\frac{3 x + 2 x^{2}}{3 x^{2} + 9} < \frac{3 x + 2 x^{2}}{3 \cdot 1 + 9}

so wie bekommst du jetzt

| \frac{3 x + 2 x^{2}}{12} | < ε

also wie musst du

δ

höchstens wählen damit

| 2 δ^{2} + 3 δ | < 12 \cdot ε

für

δ < 1

ist

δ^{2} < δ

also

| 2 δ^{2} + 3 δ | < 5 δ

jetzt du.
Gruß ledum

pwmeyer aktiv_icon

10:02 Uhr, 08.12.2016

Hallo,

die Abschätzung von ledum ist falsch, es ist nur

\frac{1}{3 \cdot x^{2} + 9} \leq \frac{1}{9}

Gruß pwm

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