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Erzeugendensystem

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Vektorräume

Tags: Erzeugendensystem, polynom, Vektorraum

 
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Aishling

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17:54 Uhr, 13.11.2009

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Hallo an alle...ich bin mal wieder verwirrt, bzw. versteh die Fragestellung nicht.

Wir betrachten den Vektorraum der Polynome R(kleinergleich)1[x] und darin die Vektoren (Polynome)

3x+6,2x,0,
4x-3x-6,-2x

Wählen Sie aus der Liste der Polynome drei Polynome so aus, dass diese ein Erzeugendensystem des Vektorraums R(kleinergleich)1[x] der Polynome vom Grad höchstens gleich eins sind.



Falls ihr mir verraten könnt, was die überhaupt von mir wollen wär ich euch sehr dankbar!

Mit freundlichen Grüßen


Verena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
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hagman

hagman aktiv_icon

18:04 Uhr, 13.11.2009

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1[x], die Polynome vom Grad höchstens 1 in einer Unbestimmten x mit reellen Koeffizienten bilden einen Vektorraum, d.h. man kann Polynome addieren, subtrahieren und auch mit einer reellen Zahl multiplizieren.
Das allgemeine solche Polynom hat die Form ax+b.
Aus den gegebenen Polynomen sollst du drei P,Q,R heraussuchen derart, dass jedes mögliche Polynom ax+b als Linearkombination uP+vQ+wR mit u,v,w dargestellt werden kann.

Es reichen sogar schon zwei aus der Liste, beispielsweise P=3x+6 und Q=2x, denn es ist
ax+b=b6P+(a2-b4)Q (nachrechnen!)
Damit es drei sind, ergänze um eni beliebiges weiteres Polynom aus der Liste, schaden kann s nicht.


Aishling

Aishling aktiv_icon

18:13 Uhr, 13.11.2009

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Danke danke, aber ich hab ne Frage zu deiner Gleichung! Wie bist du drauf gekommen und was genau rechnest du da, ich seh bei den ganzen a und b nicht mehr durch!

Danke!


Mit freundlichen Grüßen

Verena
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hagman

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20:09 Uhr, 13.11.2009

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Ich rechne da
b6P+(a2-b4)Q
=b6(3x+6)+(a2-b4)(2x)
=(bx2+b)+(ax-bx2)
=ax+b

Gefunden habe ich das letztlich durch Lösen eines Gleichungssystems mit zwei Unbekannten, aber man sieht ja, dass Q (also 2x) keinen EInfluss auf den konstanten Term des Polynoms hat; deshalb kann man erst einmal ein geeignetes Vielfaches von P bestimmen, das b als konstanten Term hat. Dan besteht nur noch eine Abweichung im x-Term, die man mittels Q aber wunderbar ausbügeln kann.

Und übrigens: Viel weniger a und b als in dieser Aufgabe wird dir nicht mehr begegnen ...
Frage beantwortet
Aishling

Aishling aktiv_icon

20:34 Uhr, 15.11.2009

Antworten
Danke! Ich hatte es befürchtet ;-)


Mit freundlichen Grüßen

Verena
 
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