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Extremalprobleme / Quadrieren einer Zielfunktion

Schüler , 11. Klassenstufe

Tags: Extremalprobleme lösen, Quadrieren

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Matheisbloed

Matheisbloed aktiv_icon

19:34 Uhr, 15.04.2011

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Hey Leute, habe eine sehr schwere Hausaufgabe für unsere Verhältnisse aufbekommen.

Es geht um folgendes:

Eine Raumsonde bewegt sich auf einer parabelförmigen Bahn.
In welchem Punkt der Bahnkurve der Sonde wird der geringste Abstand zum Punkt

B (3 | 0)

erreicht?

Parabelgleichung:

y = \frac{1}{4}

x²

Stehe komplett ohne Ansatz da und habe auch keine Idee...

Ich hoffe auf hilfsbereite Partner :-)

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"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

22:34 Uhr, 15.04.2011

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Für den Abstand von

P (x | \frac{1}{4} x^{2})

und

B (3 | 0)

gilt nach Pythagoras:

d (x) = \sqrt{{(\frac{1}{4} x^{2} - 0)}^{2} + {(x - 3)}^{2}}

bzw.

f (x) = d^{2} (x) = \frac{1}{16} x^{4} + x^{2} - 6 x + 9

Diese Funktion sollte nun "minimiert" werden.

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Arodej

Arodej aktiv_icon

23:14 Uhr, 15.04.2011

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Abend,
zur Berechnung solch einer Aufgabe braucht man diese allg. Funktionsgleichung:

n (x) = f (x_{0}) - \frac{1}{f' (x_{0})} \cdot (x - x_{0})

n (x)

und

x

sind die Werte deines Punktes

P (3 | 0),

quasi

P (x | n (x)) :

0 = f (x_{0}) - \frac{1}{f' (x_{0})} \cdot (3 - x_{0})

Jetzt noch die Funktion (hierbei mit "

f (x_{0})

" beschrieben) und deren Ableitung eingesetzt (sowie die rechte Seite der Gleichung ein wenig vereinfacht):

0 = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 - x_{0}}{0,5 x}

Das ganze nach

x_{0}

auflösen, dann hast du den x-Wert deines gesuchten Punktes auf der Parabel.

Wird hier auch nochmal erklärt:
http//oberprima.com/mathenachhilfe/kuerzester-abstand-zwischen-punkt-und-parabel-quadratische-funktion/

Grüße

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

10:07 Uhr, 16.04.2011

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\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 - x}{0,5 x} = 0

führt zu

\frac{x^{3}}{4} - 2 (3 - x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4} x^{3} + 2 x - 6 = 0

genauso wie mein Ansatz. Raten muss man also sowieso.

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anonymous

anonymous

11:04 Uhr, 16.04.2011

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hallo,
ich möchte auch einen möglichen, vielleicht einsichtigeren lösungsweg loswerden.
kann sein, dass du ihn nachvollziehen kannst.
gruß

⊙ k

.

mathe 006

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