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Extremalstelle unter Nebenbedingungen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion

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21:10 Uhr, 24.07.2014

Hallo
Löse gerade eine Übungsprüfung und möchte euch diese gerne zeigen und fragen ob ihr ein "O.K" dahinter machen würdet. Das Problem ist, dass ich ziemlich komische Werte erhalte von denen ich mir nicht vorstellen kann, dass man in der Prüfung auf diese gekommen wäre. Deshalb wäre ich sehr froh um eine Korrektur:

Also zur Aufgabe:
(a)Ich soll die fkt:

f (x, y) = y^{2} - \sqrt{3} \cdot x \cdot y

nach lokalen Extrema untersuchen.

\Rightarrow

Berechne also

\nabla f (x, y) = (\begin{matrix} - \sqrt{3} y \\ 2 y - \sqrt{3} x \end{matrix}) = 0 \Leftrightarrow y = 0 \Rightarrow x = 0

\Rightarrow E_{1} (0,0)

Anhand der Hesse Matrix und des Satzes über lokale Extrema, kann ich sagen, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt, so weit so gut

(b)Nun soll ich die Funktion

(a)

nach lokalen Extrema unter der Nebenbedingung

M = {(x, y) \in ℝ : \frac{1}{2} x^{2} + y^{2} = 3}

M

kompakt (beweise ich hier nicht) und

f

stetig nimmt nach dem Satz von Min und Max.

f

auf

M

sowohl Maximalwert, wie auch Minimalwert an.

Nun zur Rechnung: Ich benutze den Satz mit dem Lagrangemultiplikator
(Da ich nur den Rand betrachten möchte. Im Innern von

K

haben wir ja nur

E_{1} (0,0))

\Rightarrow \nabla h (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y^{2} - 3 \neq 0

\Rightarrow \nabla f (x, y) = λ \nabla h (x, y)

wobei

λ =

Lagrangemultiplikator
Nun rechne ich den ganzen Spass aus:

(\begin{matrix} - \sqrt{3} y \\ 2 y - \sqrt{3} x \end{matrix}) = λ (\begin{matrix} x \\ 2 y \end{matrix})

Nun Fallunterscheidung:
1 Fall:

λ = 0 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow x = 0,

den Fall hatten wir bereits
2 Fall:

λ \neq 0

\Rightarrow x = - \frac{\sqrt{3}}{λ} y

in zweite Gleichung:

\Rightarrow 2 y + 3 \frac{y}{λ} = λ 2 y

rechne geteilt an

y \neq 0

mal

λ

\Rightarrow 2 \cdot λ^{2} - 2 \cdot λ - 3 = 0

\Rightarrow λ_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{2}

setze dies in die erste Gleichung ein und erhalte dass folgende Punkte in Frage kommen:

für

λ_{1} \Rightarrow P_{1} (x, - \frac{1 + \sqrt{7}}{2 \sqrt{3}} x)

für

λ_{2} \Rightarrow P_{2} (x, - \frac{1 - \sqrt{7}}{2 \sqrt{3}} x)

Setze dies in die Nebenbedingung

h (x, y)

ein und erhalte:

λ_{1}

\frac{1}{2} x^{2} + {(\frac{1 + \sqrt{7}}{2 \sqrt{3}})}^{2} x^{2} = 3

\Rightarrow \frac{7 + \sqrt{7}}{6} x^{2} = 3

\Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{18}{7 + \sqrt{7}}}

wieder einsetzen in

h (x, y)

ergibt mir

\frac{1}{2} \cdot \frac{18}{7 + \sqrt{7}} + y^{2} = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{12 + 3 \cdot \sqrt{7}}{7 + \sqrt{7}}}

Für

λ_{2}

erhalte ich äquivalent:

x = \pm \sqrt{\frac{18}{7 - \sqrt{7}}} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{12 - 3 \cdot \sqrt{7}}{7 - \sqrt{7}}}

Nun setze ich diese Punkte in

f (x, y)

und schaue welche Werte ich erhalten:
bei

f (- \sqrt{\frac{18}{7 + \sqrt{7}}}, \sqrt{\frac{12 + 3 \cdot \sqrt{7}}{7 + \sqrt{7}}}) = f (\sqrt{\frac{18}{7 + \sqrt{7}}}, - \sqrt{\frac{12 + 3 \cdot \sqrt{7}}{7 + \sqrt{7}}}) = \frac{12 + 3 \cdot \sqrt{7} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{216 + 54 \cdot \sqrt{7}}}{7 + \sqrt{7}}

ca.

5.4

f (\sqrt{\frac{18}{7 + \sqrt{7}}}, \sqrt{\frac{12 + 3 \cdot \sqrt{7}}{7 + \sqrt{7}}}) = f (- \sqrt{\frac{18}{7 + \sqrt{7}}}, - \sqrt{\frac{12 + 3 \cdot \sqrt{7}}{7 + \sqrt{7}}}) = - 1.3

f (- \sqrt{\frac{18}{7 - \sqrt{7}}}, \sqrt{\frac{12 - 3 \cdot \sqrt{7}}{7 - \sqrt{7}}}) = f (\sqrt{\frac{18}{7 - \sqrt{7}}}, - \sqrt{\frac{12 - 3 \cdot \sqrt{7}}{7 - \sqrt{7}}}) = 7.98

f (\sqrt{\frac{18}{7 - \sqrt{7}}}, \sqrt{\frac{12 - 3 \cdot \sqrt{7}}{7 - \sqrt{7}}}) = f (- \sqrt{\frac{18}{7 - \sqrt{7}}}, - \sqrt{\frac{12 - 3 \cdot \sqrt{7}}{7 - \sqrt{7}}}) = 1.17

Und damit hätte ich im Prinzip die gesuchten Extremal und Minimalpunkte.
Da ich mir aber nicht vorstellen kann dass bei einer echten Prüfung eine solche Rechnung vorkommt (mit solch schwierigen Zahlen), wollte ich euch fragen ob ihr "kurz" drüberschauen könnt ob ich wohl irgendwo einen Fehler gemacht habe. (natürlich nur wenn jemand gerade Zeit hat). Ich finde leider keinen Fehler egal wie oft ich drüberschaue...Liebe Grüsse und freue mich auf Antworten Ventura

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pwmeyer aktiv_icon

11:24 Uhr, 28.07.2014

Hallo,

ich kann keinen Fehler entdecken.

Gruß pwm

Ventura aktiv_icon

12:48 Uhr, 29.07.2014

Hallo
Vielen Dank für die Bestätigung.
Hätte mich zwar gefreut wenn mehr Leute kurz drübergeschaut hätten, aber bei einer solch EllenlangenRechnung verstehe ich natürlich, dass man sich nur ungern damit beschäftigen möchte ;-)

Grüsse und schöbe Ferien (wer nicht schon ist) Ventura

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