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Extrempunkte eines Funktionsgraphen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

 
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Wie bestimmt man die Extrempunkte eines Funktionsgraphen?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

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Lage des Extrempunkts ermitteln

1) Erste Ableitung f'(x) der Funktion f(x) bilden

2) Nullstellen der Ableitungsfunktion ermitteln :

     Ansatz:

     Erste Ableitung Null setzen:   f'(x)=0

     Nun die Gleichung f'(x)=0 nach x auflösen

     Die Lösungen der Gleichung f'(x)=0 sind die x0 -Werte möglicher Extrempunkte.
     Man sagt, sie erfüllen die notwendige Bedingung für ein Extremum:
f'(x0)=0


(x0 soll eine Lösung der Gleichung f'(x)=0 sein.)





Art des Extrempunkts ermitteln

3) Prüfen ob an den gefundenen Stellen tatsächlich Extrempunkte vorliegen

     Hierfür gibt es 2 Methoden:

     Methode der zweiten Ableitung:

         Zweite Ableitung f''(x) der Funktion f(x) bilden

         Die x0 -Werte aus 2) in die zweite Ableitung einsetzen:   f''(x0)

         Prüfen ob gilt:   f''(x0)≠0

Für ein Extrempunkt gilt stets:   f''(x0)≠0

Man sagt x0 erfüllt die hinreichende Bedingung für ein Extremum:
f''(x0)≠0


Um welches Extremum es sich dabei handelt wird am Vorzeichen der zweiten Ableitung abgelesen:

f'(x0)=0   UND   f''(x0)<0  , so hat die Funktion bei x0 ein (lokales) Maximum.



f'(x0)=0   UND   f''(x0)>0  , so hat die Funktion bei x ein (lokales) Minimum.






     Methode des Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung:

         Man prüft ob die erste Ableitung ihr Vorzeichen im Punkt x0 wechselt, indem man untersucht wo die
         erste Ableitung kleiner Null und größer Null ist:

        f'(x)<0

        f'(x)>0

Wechselt die Ableitung in der Umgebung seiner Nullstelle x0 ihr Vorzeichen von "+" (Plus) auf "-" (Minus), dann hat die Funktion in x0 ein (lokales)Maximum.



Wechselt die Ableitung in der Umgebung seiner Nullstelle x0 ihr Vorzeichen von "-" (Minus) auf "+" (Plus), dann hat die Funktion in x ein (lokales)Minimum.



Vorsicht: gilt nur bei stetigen Funktionen!
Beispiel:

f(x)=x2+4x

1) Erste Ableitung f'(x) der Funktion f(x) bilden :

    f'(x)=2x+4

2) Nullstellen der Ableitungsfunktion ermitteln :

    f'(x)=0

    ⇒  2x+4=0

    2x=-4

    ⇒  x0=-2

3) Prüfen ob an den gefundenen Stellen tatsächlich Extrempunkte vorliegen

     Bestimmt mit der zweiten Ableitung.

    f''(x)=(2x+4)'=2

    f''(x0)=f''(-2)=2

    ⇒  f''(x0)≠0

    f''(-2)=2>0

⇒   An der Stelle x0=-2 hat die Funktion ein Minimum.


     Alternative: Bestimmt mit dem Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung.

    f'(x)=2x+4

     Für welche x gilt f'(x)>0?

    2x+4>0

    ⇒  x>-2

     Für welche x gilt f'(x)<0?

    2x+4<0

    ⇒  x<-2

Die erste Ableitung ist negativ für alle x die kleiner sind als -2 und positiv für alle x die größer sind als -2. Die erste Ableitung wechsel also bei x=-2 ihr Vorzeichen von "-" nach "+".

⇒   An der Stelle x0=-2 hat die Funktion ein Minimum.
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