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Extremwertaufgabe Flugzeug

Schüler Fachoberschulen, 11. Klassenstufe

Tags: Extremalaufgabe

Spike156 aktiv_icon

21:26 Uhr, 24.01.2013

Moin,

ich bräuchte hilfe zu folgender Aufgabe:

1. Ein flugzeug fliegt geradlinig von A nach

B

(entfernung

1000

km) mit dem Wind und dann in entgegengesetzter Richtung von

B

nach

C

(entfernung

250

km) gegen den Wind mit der konstanten Eigengeschwindigkeit von

420

km/h.

a)

Bei welcher Windgeschwindigkeit legt das Flugzeug die Gesamtstrecke in der kürzesten Zeit zurück?

ich komme nicht richtig auf meine Hauptbedingung bzw wie ich das mathematisch zusammenfasse bzw mit der windgeschwindigkeit ??

alles was mir einfällt wäre

für

A - B

Strecke
x*420km/h=1000km

für

B - C

Strecke
420kmh/x =250km

stimmt das ?

x

steht dann für die windgeschwindigkeit bzw irgendwo muss bestimmt auch noch

t

rein für die zeit oder?

lg
Spike

pleindespoir aktiv_icon

21:48 Uhr, 24.01.2013

1. Ein flugzeug fliegt geradlinig von A nach B (entfernung 1000 km) mit dem Wind und dann in entgegengesetzter Richtung von B nach C (entfernung 250 km) gegen den Wind mit der konstanten Eigengeschwindigkeit von 420 km/h.

1000 = v_{1} * t_{1}

250 = v_{2} * t_{2}

t_{g} = t_{1} + t_{2}

v_{1} = 420 + v_{w}

v_{2} = 420 - v_{w}

zusammenbasteln , dass

t_{g} (v_{w}) = \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot

davon die Ableitung bilden und deren Nullstellen finden

Spike156 aktiv_icon

21:57 Uhr, 24.01.2013

okay.... wie bastelst du das denn zusammen dann ? kannst mir das noch sagen bitte ?

: 9

pleindespoir aktiv_icon

22:03 Uhr, 24.01.2013

Eigentlich sollte das von einem angähnenden Flachhochschüler bzw. Unitäter überblickt werden. Die ersten beiden nach der Zeit auflösen und dann nur noch einsetzen.

Spike156 aktiv_icon

22:07 Uhr, 24.01.2013

tg(vw)

= \frac{1000}{v 1} + \frac{250}{v 2}

so ?

pleindespoir aktiv_icon

22:12 Uhr, 24.01.2013

Schöööön

und nun die v noch einsetzen ...

Spike156 aktiv_icon

22:17 Uhr, 24.01.2013

1000/420+vw

+

250/420-vw

oh man und wie soll man davon die 1. ableitung hinbekommen ?

Duckx aktiv_icon

22:24 Uhr, 24.01.2013

Du musst einfach 2 mal die Quotientenregel zum Ableiten anwenden. Ich hoffe das sagt dir was?

t (v w) = \frac{1000}{420 + v w} + \frac{250}{420 - v w}

u = 1000

u ʹ = 0

v = 420 + v w

v ʹ = 1

f ʹ (v w) = \frac{u ʹ v - v ʹ u}{v^{2}}

Nun nur noch einsetzen und du hast die 1. Ableitung für den 1. Term.
Das gleiche musst du bei dem 2. machen

pleindespoir aktiv_icon

22:25 Uhr, 24.01.2013

Brüche bitte entweder ordentlich darstellen (Text bzw LaTeX -Eingabe) oder zumindest korrekt klammern!

Dann der Indianertrick mit dem gemeinsamen Nenner, da man ungleichnamige Brüche addieren will.

Zur Ableitung dann die Quotientenregel anwenden

Spike156 aktiv_icon

22:49 Uhr, 24.01.2013

ok ich versuch das

t'(vw)= (0*(420+vw)-1*1000)/(420+vw)^2 - (0*(420-vw)-(-1)*250)/(420-vw)^2

irgendwie funktioniert diese formel schreibweise bei mir gerade gar nich mehr

: s

mega schwer hab davon noch nichts gehört blickt da einer durch ?

\land

Duckx aktiv_icon

22:53 Uhr, 24.01.2013

Ja das sieht richtig aus bis auf das minus zwischen den beiden Termen
Ich schreib das nochmal ordentlich auf.

t ʹ (v w) = - \frac{1000}{(420 + v w)^{2}} + \frac{250}{(420 - v w)^{2}}

Das setzt du nun 0 und dann rechnest du vw aus :-)

Spike156 aktiv_icon

23:04 Uhr, 24.01.2013

danke Duckx :-)

ich rechne mal...

Duckx aktiv_icon

23:05 Uhr, 24.01.2013

Ja tut mir leid das war mein Fehler :-) habe es korrigiert

pleindespoir aktiv_icon

23:08 Uhr, 24.01.2013

Alternativer Lösungsweg:

t_g = \ f r a c {1000} {420 + v_w} + \ f r a c {250} {420 - v_w}

t_g = \ f r a c {1000 \ c d o t (420 - v_w)} {(420 + v_w) \ c d o t (420 - v_w)} + \ f r a c {250 \ c d o t (420 + v_w)} {(420 - v_w) \ c d o t (420 + v_w)}

t_g = \ f r a c {1000 \ c d o t (420 - v_w) + 250 \ c d o t (420 + v_w)} {420^2 - v_w^2}

t_g = \ f r a c {1250 \ c d o t 420 - 750 v_w} {420^2 - v_w^2}

Ableitung des Zählers:

- 750

Ableitung des Nenners:

- 2 v_w

Unm die Nullstellen auszrechnen, braucht man nur den Zähler übrigens

Spike156 aktiv_icon

23:10 Uhr, 24.01.2013

kann es sein dass der erste Schritt das ausmultiplizieren der klammern ist ? dann wird rechts das (420-vw)^2 zu 420^2+vw^2 wird genauso wie links und dann kann ich diesen teil multiplizieren und hab ich dann hinter dem gleichzeichen stehen und kann durch

420^{2}

teilen und anschließend die wurzel ziehen - ist das richtig ?

Duckx aktiv_icon

23:12 Uhr, 24.01.2013

Ich glaube du solltest dir nochmal die binomischen Formeln angucken. Das ist nicht die 3. :-) sondern die 1. bzw. 2 binomische Formel

Spike156 aktiv_icon

23:22 Uhr, 24.01.2013

ja das sollte ich wohl tun *hust*

@pleindespoir

dein alternativer lösungsweg ist jetzt aber nicht die quotientenregel oder ?

Duckx aktiv_icon

23:28 Uhr, 24.01.2013

ploindespoir hat dir ja schon einmal den Lösungsweg gegeben.
Du hast jetzt die Gleichung

0 = - \frac{1000}{(420 + v w)^{2}} + \frac{250}{(420 - v w)^{2}}

Du musst nun einfach den gemeinsamen Nenner bilden:

0 = - \frac{1000 (420 - v w)^{2}}{(420 + v w)^{2} * (420 - v w)^{2}} + \frac{250 (420 + v w)^{2}}{(420 - v w)^{2} * (420 + v w)^{2}}

Den Nenner kannst du nun erst einmal außen vorlassen. indem du mit dem Nenner multiplizierst.
also hast du die Gleichung

0 = - 1000 (420 - v w)^{2} + 250 (420 + v w)^{2}

Nun musst du erst einmal die Binomische Formel anwenden. Du wirst dann eine Quadratischen Term haben und das kannst du dann mit der p/q formel lösen.

pleindespoir aktiv_icon

23:29 Uhr, 24.01.2013

Das war die Vorbereitung bis zum Anwenden der Kotziendenregel !!!

Spike156 aktiv_icon

23:43 Uhr, 24.01.2013

das heißt da steht dann:

0=-1000(420² - 840vw + vw²) + 250(420² + 840vw+ vw²)

wenn ich das ausmultipliziere kommen doch mega die summen raus oder nich ?

Duckx aktiv_icon

23:45 Uhr, 24.01.2013

Genau
das kannst du erst einmal noch weiter vereinfachen zu :

0 = - 4 (42 0^{2} - 840 v w + v w^{2}) + (42 0^{2} + 84 0^{2} + v w^{2})

Das musst du nun noch umformen und ausrechnen :-)

Spike156 aktiv_icon

23:52 Uhr, 24.01.2013

okay.... also ich will ja das vw alleine haben (man das fühlt sich an wie in der 1 klasse) multipliziere ich jetzt erst die -4 mit der ersten klammer und fasse dann alles zusammen ?

Duckx aktiv_icon

23:53 Uhr, 24.01.2013

Ja genau so machst du das ;-)

Spike156 aktiv_icon

23:57 Uhr, 24.01.2013

dann steht da

0= -705600+3360vw-4vw² + 176400+840vw+vw²

ich knall mir gleich die birne weg das ist doch bestimmt nich richtig so hahaha

Duckx aktiv_icon

23:59 Uhr, 24.01.2013

Sieht vielleicht so aus, aber es sollte richtig sein ;-)
nun fast du noch alles zusammen.
Dann solltest du irgendetwas wie:

0 = - 3 v w^{2} . . .

herausbekommen.
Das teilst du dann durch -3 damit du die p/q formel anwenden kannst.

Spike156 aktiv_icon

00:05 Uhr, 25.01.2013

okay....

dann steht da

vw²-1400vw+176400

wenn ich dann die pq formel anwende kommt da

vw1= 1260 ; vw2= 140 raus... ok und was hab ich jetzt genau ? ^^

Spike156 aktiv_icon

00:12 Uhr, 25.01.2013

bei dem schritt wo du den nenner außen vorgelassen hast wo du mir den lösungsweg erklärt hast - warum können wir den da einfach außen vorlassen ?

Duckx aktiv_icon

00:16 Uhr, 25.01.2013

Den konntest du "weglassen", weil du einfach mit dem Nenner multipliziert hast. Verschwindet der ja gerade.
Also nun zu der Lösung.
Was hast du da eigentlich herausgefunden?
Die stellen, an der die 1. Ableitung 0 ist, sind die Extremstellen.
Du hast also die geringste Zeit für die Strecke, wenn der Wind mit 1260km/h weht oder 140km/h
allerdings ist hiervon nur 1 Lösung logisch.
Denn wenn der wind mit 1260km/h wehen würde, würde das FLugzeug auf bei Gegenwind rückwärts fliegen.
Daher ist die logische Lösung 140km/h.

Spike156 aktiv_icon

00:18 Uhr, 25.01.2013

Duckx ich weiß gar nicht wie ich dir danken soll das du es bis zum ende mit mir ausgehalten hast echt tausend dank ich werde mit sicherheit morgen der einzige sein der die aufgabe gemacht hat *gg* danke danke danke :-)

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