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Extremwertaufgabe - Stufe 12 - Gymnasium
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Extremwertaufgaben
 
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Hallo zusammen,
Ich bereite mich derzeit auf eine Mathematik Klausur vor und bearbeite dabei folgende Aufgabe:
Extremwertaufgabe zur Anwendung aus der Wirtschaft
Eine Firma will die Gewinnentwicklung eines ihre Produkte genau untersuchen
- Sie produziert X Mengeneinheiten dieses Produkts.
- Die Firma kennt ihre fixen Kosten in Höhe von 10 Geldeinheiten
- Die variablen Kosten (Kvar Geldeinheiten) hängen von der hergestellten Menge ab und berechnen sich gemäß der Formel Kvar(x) = 4x³-12x²+135x.
- Die Gesamtkosten für x Mengeneinheiten werden mit K(x) Geldeinheiten bezeichnet.
- Der Marktpreis für 1 Mengeneinheit des Produkts beträgt zurzeit 150 Geldeinheiten.
- Alle hergestellten Mengeneinheiten gelangen in den Handel
a) Ermitteln Sie die Gesamtkosten-, die Erlös- und Gewinnfunktion !
b) Berechnen Sie die Nutzenschwelle und die Nutzengrenze (G(x)= -4x³+12x²+15x-10)!
c) Kann der Gewinn maximiert werden ?
d) Skizzieren Sie den Graph der Gewinnfunktion in einem Koordinatensystem !
Nun habe ich mich daran gemacht und die Aufgabe a) bereits bearbeitet: a) Gesamtkostenfunktion: K(x) = 4x³-12x²+135x+10 Erlösfunktion: E(x)= 150*x Gewinnfunktion: f(x)=150*x-(4x³-12x²+135x+10) Ist dies so korrekt ?
Bei der Aufgabe b) komme ich nun schon nicht mehr weiter, da ich nicht ansatzweise eine Ahnung davon habe, wie man die Nutzenschwelle und Nutzengrenze berechnet, geschweige denn, was diese überhaupt darstellen. Ähnlich verhält es sich mit Aufgabe c) und d) ...
Ohne dreist sein zu wollen, aber könnte mir jemand eventuell eine Lösung (mit Erklärung) herausarbeiten, so dass ich eine Art Musteraufgabe habe und anhand dieser weiter lernen kann ?
Danke im Vorraus ... Stefan
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Hallo Stefan, die Aufgabe a) hast du ja schon richtig gelöst. Unter der Nutzenschwelle versteht man die Menge, ab der zum ersten Mal ein Gewinn erzielt wird. Die Nutzengrenze ist die Menge, ab der kein Gewinn mehr erzielt wird. D. h., du musst ausrechnen, wann der Gewinn 0 ist. Da es eine Funktion dritten Grades ist, musst du die erste Lösung durch Probieren herausfinden. Danach kannst du durch Polynomdivision die Funktion auf einen quadratischen Term bringen und diesen mit der p-q-Formel lösen. Die Lösungen sind 0,5 und 3,8 (gerundet) und -1,3 (ebenfalls gerundet). Die negative Lösung fällt weg. Die Nutzenschwelle liegt also bei 0,5 ME, die Nutzengrenze bei 3,8 ME. Um den maximalen Gewinn zu bestimmen, musst du die Ableitung von G(x) bilden und gleich 0 setzen. Als Lösungen erhälts du -0,5 und 2,5. Überprüfen mithilfe der zweiten Ableitung (oder Überlegen) ergibt, dass der maximale Gewinn bei 2,5 ME erzielt wird. Aufgabe d müsste eigentlich klar sein. Du kennst die Nullstellen, den Hochpunkt und Tiefpunkt, zur Not erstellst du noch eine Wertetabelle. Grüße |
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Zitat: Hallo Stefan, die Aufgabe a) hast du ja schon richtig gelöst. Unter der Nutzenschwelle versteht man die Menge, ab der zum ersten Mal ein Gewinn erzielt wird. Die Nutzengrenze ist die Menge, ab der kein Gewinn mehr erzielt wird. D. h., du musst ausrechnen, wann der Gewinn 0 ist. Da es eine Funktion dritten Grades ist, musst du die erste Lösung durch Probieren herausfinden. Danach kannst du durch Polynomdivision die Funktion auf einen quadratischen Term bringen und diesen mit der p-q-Formel lösen. Die Lösungen sind 0,5 und 3,8 (gerundet) und -1,3 (ebenfalls gerundet). Die negative Lösung fällt weg. Die Nutzenschwelle liegt also bei 0,5 ME, die Nutzengrenze bei 3,8 ME. Um den maximalen Gewinn zu bestimmen, musst du die Ableitung von G(x) bilden und gleich 0 setzen. Als Lösungen erhälts du -0,5 und 2,5. Überprüfen mithilfe der zweiten Ableitung (oder Überlegen) ergibt, dass der maximale Gewinn bei 2,5 ME erzielt wird. Aufgabe d müsste eigentlich klar sein. Du kennst die Nullstellen, den Hochpunkt und Tiefpunkt, zur Not erstellst du noch eine Wertetabelle. Grüße
Danke erst mal für diese Erklärung.
Ich kann grundsätzlich auch alles nachvollziehen, allerdings fehlt mir jegliche Kenntniss in den Gebieten wie z.B Polynomdivision, p-q-Formel etc. Ich verstehe also was ich tun muss, kann dies aber selber nicht umsetzen.
Daher meine Fragen ...
Inwiefern muss ich probieren ? Können sie dies anhand eines Beispiels darlegen und ist dies immer nur der Fall, wenn es sich um eine Funktion dritten Grades handelt ? Wie schon erwähnt, habe ich auch Probleme bei der Polynomdivison und p-q-Formel. Daher würde ich mich auch hier über ein Beispiel und Erklärung freuen, ansonsten werde ich mich mal in diesem Forum umsehen, ob es Erklärungen zu diesen Themen gibt.
Könnten sie (oder jemand anderes) mir eventuell Links zu Beispielaufgaben zum Thema Extremwert (Stufe 12) empfehlen (am besten bei denen eine Lösung dabei ist, oder die Erklärungen enthalten) ?
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Hallo Stefan, auf die Schnelle habe ich nur das gefunden. www.mathematik.de/mde/fragenantworten/erstehilfe/extremwertaufgaben/extremwertaufgaben.html oder www.thomas-unkelbach.de Vielleicht googlest du einfach mal. Gib das Stichwort Extremwertaufgaben (mit Nebenbedingungen) ein und schau dir die Ergebnisse an. Es findet sich dann bestimmt etwas. Manchmal ist auch ein Buch ganz hilfreich. Die Schulbuchverlage bieten da mittlerweile eine Menge Sachen an. Frag doch mal deinen Lehrer, der hilft dir sicher gerne weiter. Viel Glück beim Suchen. |
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Danke für die Hilfe bis hierhin. Ich werde mich auf jeden Fall mit den Seiten auseinandersetzen ... eventuell hat ja noch ein anderes Mitglied ein paar Tipps, oder kann sogar die gesamte Aufgabe "vorrechnen" ...
Danke im Vorraus .. Stefan ... |
