Lösung:
Da beide Funktion f(x) und g(x) symmetrische Funktionen zur Y-Achse sind gilt folgendes:
Du formulierst allgemein die Größe des Rechteckes mit A = Breite x Höhe.
Die Breite des Rechteckes ist vom Ursprung des KS aus gemessen nach links und nach rechts jeweils x LE also ist die Breite b = 2x
Die Höhe des Rechteckes ist die Ordinatendifferenz der beiden Funktionen, da du die oberen Ecken des Rechteckes auf f(x) liegen hast, und die unteren Ecken des Rechteckes auf dem Graph von g(x) liegen; an der Stelle x = a ist jeweils der Funktionswert der Funktionen f(x) und g(x) zu berechnen. Wenn die Differenz gebildet wird (= Ordinatendifferenz) dann ist die dam Maß der Höhe H des Rechteckes.
Es gilt also:
A = Breite x Höhe
A = 2x*[f(x)-g(x)]
A = 2x*[-0,25x²+4-(0,5x²-2)]
A = 2x*(-0,75x²+6)
A = -1,5x³+12x (Zielfunktion)
A’ = -4,5x²+12 = 0 (erste Ableitung nullsetzen für Min oder Max)
X = -1,633, x = +1,633
A’’ = -9x ; für x>0 ist A’’ < 0 also Max
Da Rechteck ist also 3,266 LE breit und 4 LE hoch
Für die zweite Lösung des Umfanges
heißt die Zielfunktion:
U=2xBreite + 2xHöhe
also:
U=4x+2*[-0,25x²+4-(0,5x²-2)]
den Rest probierst mal alleine, dein Ergebnis kannst du hier einstellen.
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