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Faltung, Youngsche Faltungsungleichung

Universität / Fachhochschule

Integration

Maßtheorie

Tags: Faltung, Faltungsintegral, Integration, Lebesgue, Maßtheorie

Messe687 aktiv_icon

21:24 Uhr, 22.03.2024

Hallo,

Ich hatte heute folgende Aufgabe vor mir:

Seien

f, g : ℝ \to ℝ

stetige Funktionen mit

∥ f ∥_{L^{2}}, ∥ g ∥_{L^{2}} \leq 1

.
Zeigen Sie: Für fast alle

x \in ℝ

gilt

(f * g) (x) \leq 1

.

Meine Idee war es, die in der Vorlesung definierte Youngsche Ungleichung (auf de.wikipedia.org/wiki/Faltung_(Mathematik)#Faltungsungleichung_von_Young unter "Verallgemeinerte Young’sche Ungleichung") zu benutzen. Das ist der einzige Satz, welcher Sinn macht.

Das würde wie folgt aussehen:

(f * g) (x) \leq ∥ (f * g) (x) ∥_{L^{1}} \leq ∥ f ∥_{L^{2}} * ∥ g ∥_{L^{2}} \leq 1

Es muss aber

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 + \frac{1}{r}

gelten und mit meiner Lösung würde gelten

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 = 2 = 1 + 1

. Das ist offensichtlich falsch.

Wo liegt mein Fehler oder muss ich etwas ganz anderes benutzen?

Freue mich auf eure Hilfe,

Felix

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Romaxx aktiv_icon

20:56 Uhr, 23.03.2024

Zwei Dinge:

Wie kommst du auf

(f * g) (x) \leq ∣ ∣ (f * g) ∣ ∣_{L_{1}}

?

Und gilt nicht

∣ ∣ (f * g) ∣ ∣_{L_{1}} \leq ∣ ∣ (f * g) ∣ ∣_{L_{\infty}}

?
Mit

r = \infty

wäre die Gleichung ja erfüllt.

Messe687 aktiv_icon

13:32 Uhr, 24.03.2024

Zum ersten Punkt: Ich dachte

(f * g) (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f (y) g (x - y) d y \leq ∣ \int_{- \infty}^{\infty} f (y) g (x - y) d y ∣ \leq \int_{- \infty}^{\infty} ∣ f (y) g (x - y) ∣ d y = ∥ (f * g) (x) ∥_{L^{1}}

Das letzte Gleichheitszeichen macht aber wenig Sinn fällt mir gerade auf.
Kann ich das irgendwie anders beweisen?

Zum zweiten Punkt: Das ist ein sehr guter Tipp. Reicht diese Überlegung?

∥ (f * g) (x) ∥_{L^{1}} = \int_{- \infty}^{\infty} ∣ (f * g) (x) ∣ d x

∥ (f * g) ∥_{L^{\infty}} = e s s sup_{x \in ℝ} ∣ (f * g) (x) ∣

Da die

L^{1}

-Norm die Durchschnittliche Größe der Funktion misst und die

L^{\infty}

-Norm das Maximum misst folgt das

∥ (f * g) ∥_{L^{1}} \leq ∥ (f * g) ∥_{L^{\infty}}

Einen richtigen Beweis bekomme ich gerade nicht hin.

pwmeyer aktiv_icon

11:54 Uhr, 25.03.2024

Hallo,

es geht doch einfach mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung im

L_{2} (ℝ) :

In Deiner Darstellung des Faltungsprodukts sind sowohl

y \mapsto f (y)

also auch

y \mapsto g (x - y)

für jedes (feste)

x

aus

ℝ

L_2-Funktionen

. .

.

Gruß pwm

Messe687 aktiv_icon

19:31 Uhr, 25.03.2024

Hey,

Danke für den Tipp. Ich habe es heute Mittag mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung probiert und vermutlich geschafft. Ich fände es nett, wenn nochmal jemand drüber schauen würde, da ich noch etwas unsicher bin:

(f * g) (x) = \int_{ℝ} f (y) g (x - y) d y \leq ∣ \int_{ℝ} f (y) g (x - y) d y ∣ \leq \int_{ℝ} ∣ f (y) g (x - y) ∣ d y = \sqrt{∣ \int_{ℝ} f (y) g (x - y) ∣^{2} d y}

\leq \sqrt{\int_{R} ∣ f (y) ∣^{2} d y \int_{R} ∣ g (x - y) ∣^{2} d y} = \sqrt{\int_{R} ∣ f (y) ∣^{2} d y} \sqrt{\int_{R} ∣ g (x - y) ∣^{2} d y} = ∥ f ∥_{L^{2}} ∥ g ∥_{L^{2}} \leq 1 * 1 = 1

Quadrieren und Wurzelziehen sollte man dürfen, da der Betrag positiv ist.

Gruß Felix

pwmeyer aktiv_icon

12:10 Uhr, 26.03.2024

Hallo,

die Gleichung am Ende Deiner ersten Zeile ist falsch. Es gilt nicht (allgemein)

\int | f | = \sqrt{\int {| f |}^{2}}

(genausowenig wie

1 + 2 = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}

Das brauchst Du aber auch nicht, denn die CS-Ungleichung sagt ja direkt:

\int_{ℝ} | u (y) | \cdot | v (y) | d y \leq {| | u | |}_{2} \cdot {| | v | |}_{2}

Messe687 aktiv_icon

17:51 Uhr, 29.03.2024

Alles klar, habe es jetzt verstanden. Danke dir.

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