Fibonacci-Zahlen

Ich habe gerade mit dem Mathe-Studium angefangen. Habe alle Aufgaben lösen können, stehe bei dieser aber auf dem Schlauch. Ich hoffe ihr könnt mir helfen:

Seien p,q${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ (heißt Natürliche Zahlen ohne Null). Die Zahl q ${\displaystyle \ge }$2 ist ein Teiler von p, wenn es eine Zahl r ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ gibt mit p = q * r. Man schreibt dann auch q|p. Besitzen a,b ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ keinen gemeinsamen Teiler q ${\displaystyle \ge }$2, so heißen sie teilerfremd.

a) Es bezeichne ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0,{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1,{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2,\mathrm{...}}$ die Folge der Fibonacci-Zahlen, d.h.

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}$ = 0, ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$ = 1, ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$ = ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}}$ + ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ für n ${\displaystyle \ge }$ 1.

Zeige, dass für n ${\displaystyle \ge }$ 1 die Zahlen ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$ stets teilerfremd sind.

Ich glaube es ist ganz einfach, aber ich habe irgentwie eine Blockade. Hatte es mit vollständiger Induktion versucht.

Mein Ansatz:

${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1+1}={\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1-1}+{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$

Jetzt muss ich zeigen, dass der größte gemeinsame Teiler von ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}$ und ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2}}$ gleich 1 ist

Bitte um eure Hilfe. Danke im voraus.

Wenn dies als Beweisführung ausreicht, ist es wirklich einfach. Hatte bloß Probleme, weil keine Gleichung angegeben war. Ich finde es halt noch schwierig mathematisch korrekt Beweise aufzuschreiben. Danke vielmals. Ich werde es schon schaffen.