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Finanzmathematik
Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe
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heey! ich bräuchte wohl bitte dringend hilfe bei dieser aufgabe.. ich komm einfach nciht weiter .. am besten auch mit lösung damit ich vergleichen kann.. dankeschön!! Zu beginn seines studiums verfügt ein student über 18000 € die er zu 5,5% angelegt hat. Sein vater hat sich verpflichtet, am ende jeden jahres 2500€ auf das Konto einzuzahlen. Wie viel € müsste der Vater jählich nachschüssig einzahlen, wenn der Student jährlich vorschüssig 5000 € abheben will und der Kontostand am Ende des 6 Jahres 10000€ sein soll? |
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Hallo, ich vermute, daß es sich um 2 Teilaufgaben handelt, was für einen Sinn macht es sonst einerseits die Höhe der Zahlungen des Vaters anzugeben und andererseits danach zu fragen! Die erste Aufgabe ist vermutlich zu berechnen, wie viel Guthaben nach 6 Jahren auf dem Konto vorhanden ist, wenn der Student nichts vom Konto abhebt, und die zweite Teilaufgabe steht ja da. Betrachten wir doch mal die Geldflüsse vom und auf's Konto Wir haben also zu Beginn eines Jahres das Guthaben G_(n-1) vom Ende des Vorjahres bzw. im 1. Jahr die 18.000 Euro (=G_0). Es ergibt sich: G_n = G_(n-1)*1,055 + 2.500 Also: G_6 = G_5*1,055 + 2.500 G_6 = (G_4*1,055 + 2.500)*1,055 + 2.500 = G_4*1,055^2 + 2.500*(1,055 + 1) G_6 = (G_3*1,055 + 2.500)*1,055^2 + 2.500*(1,055 + 1) = G_3*1,055^3 + 2.500*(1,055^2 + 1,055 + 1) ... G_6 = G_0*1,055^6 + 2.500*(1,055^5 + 1,055^4 + 1,055^3 + 1,055^2 + 1,055 + 1) G_6 = G_0*1,055^6 + 2.500*(1,055^5 + 1,055^4 + 1,055^3 + 1,055^2 + 1,055^1 + 1,055^0) ; endliche geometrische Reihe! G_6 = G_0*1,055^6 + 2.500*(1*(1,055^6 - 1)/(1,055 - 1)) G_6 = G_0*1,055^6 + 2.500*(1,055^6 - 1)/0,055 G_6 = G_0*1,055^6 + 2.500*1,055^6/0,055 - 2.500/0,055 G_6 = (G_0 + 2.500/0,055)*1,055^6 - 2.500/0,055 G_6 = (18.000 + 2.500/0,055)*1,055^6 - 2.500/0,055 G_6 = 42039,29810179996875 Für die 2. Teilaufgabe sieht die Sache schon etwas komplizierter aus (E = Einzahlung des Vaters): G_n = (G_(n-1) - 5000)*1,055 + E Also: G_6 = (G_5 - 5000)*1,055 + E = G_5*1,055 - 5000*1,055 + E G_6 = ((G_4 - 5000)*1,055 + E)*1,055 - 5000*1,055 + E G_6 = (G_4*1,055 - 5000*1,055 + E)*1,055 - 5000*1,055 + E G_6 = G_4*1,055^2 - 5000*1,055^2 + E*1,055 - 5000*1,055 + E G_6 = G_4*1,055^2 - 5000*1,055*(1,055 + 1) + E*(1,055 + 1) G_6 = G_4*1,055^2 + (E - 5000*1,055)*(1,055 + 1) G_6 = ((G_3 - 5000)*1,055 + E)*1,055^2 + (E - 5000*1,055)*(1,055 + 1) G_6 = (G_3*1,055 - 5000*1,055 + E)*1,055^2 + (E - 5000*1,055)*(1,055 + 1) G_6 = G_3*1,055^3 - 5000*1,055^3 + E*1,055^2 + (E - 5000*1,055)*(1,055 + 1) G_6 = G_3*1,055^3 + (E - 5000*1,055)*1,055^2 + (E - 5000*1,055)*(1,055 + 1) G_6 = G_3*1,055^3 + (E - 5000*1,055)*(1,055^2 + 1,055 + 1) ... G_6 = G_0*1,055^6 + (E - 5000*1,055)*(1,055^5 + 1,055^4 + 1,055^3 + 1,055^2 + 1,055 + 1) G_6 = G_0*1,055^6 + (E - 5000*1,055)*(1,055^5 + 1,055^4 + 1,055^3 + 1,055^2 + 1,055^1 + 1,055^0) ; endl. geom. Reihe! G_6 = G_0*1,055^6 + (E - 5000*1,055)*(1*(1,055^6 - 1)/(1,055 - 1)) G_6 = G_0*1,055^6 + (E - 5000*1,055)*(1,055^6 - 1)/0,055 Die Forderung lautet nun: 10.000 = 18.000*1,055^6 + (E - 5000*1,055)*(1,055^6 - 1)/0,055 (E - 5000*1,055)*(1,055^6 - 1)/0,055 = 10.000 - 18.000*1,055^6 E - 5000*1,055 = (10.000 - 18.000*1,055^6)*0,055/(1,055^6 - 1) E = 5000*1,055 + (10.000 - 18.000*1,055^6)*0,055/(1,055^6 - 1) E = 3123,568419020958875293674586507 Bitte alles nachrechnen und kontrollieren! Ist zum Verstehen sowieso notwendig! PS: Sinnvolles Runden und Antwortsatz nicht vergessen. |
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