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Flächenstück-Integration

Schüler , 10. Klassenstufe

Tags: Fläche, Integration

 
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lenico

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17:07 Uhr, 23.04.2014

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Fragestellung: Berechne den Inhalt des Flächenstückes, das von den Graphen der Funktionen f und g begrenzt wird.

f(x)=2x2-x+2
g(x)=-x2-7x+11

Meine Überlegungen: Schnittpunkte errechnen!
S1:x=1
S2:x=-3

Nullstellen =?
Nullstelle von g(x), bei den Nullstellen von f(x) bin ich nicht weitergekommen.
x1=1,32
x2=-8,32


Als nächsten Schritt habe ich (-8,32;-3)f(x)dx+(-3;1)g(x)dx+(1;1,32)f(x)dx gerechnet. In kurzen Worten gefasst: Mir kommt ein Blödsinn raus und meine Zeichnung schaut auch furchtbar aus.

Wie soll ich mir die Fläche ausrechnen? Bzw sind die Nullstellen hier Überflüssig? Kennt sich jemand besser aus? Würde mich über jede Hilfe freuen!

lg
lenico

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Online-Nachhilfe in Mathematik
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prodomo

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17:40 Uhr, 23.04.2014

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Für die Schnittpunkte musst du die Funktionsgleichungen gleichsetzen, also f(x)=g(x). Und zeichne !
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prodomo

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17:44 Uhr, 23.04.2014

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im Bild müsstest du erkennen, dass zwischen -3 und 1 immer g(x)f(x) ist. Also gilt A=-31[g(x)-f(x)]dx
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prodomo

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17:47 Uhr, 23.04.2014

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Kontrolle:32 FE
lenico

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18:06 Uhr, 23.04.2014

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Hallo Prodomo!

Ja das habe ich auch getan und mir kommt dabei x=1 und x=-3 raus.

Wieso wählt man die Grenzen nur von -3 bis 1?
Braucht man nicht auch noch die Nullstellen? Falls nicht, wie erkenne ich wann ich die Nullstellen brauche? 32 kommt mir nun auch raus :-) Aber könntest du mir noch die Fragen beantworten, damit ich die Gedankenschritte nachvollziehen kann?

Lg
lenico
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prodomo

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18:44 Uhr, 23.04.2014

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Bei Flächen zwischen Graphen braucht man die Nullstellen der einzelnen Funktionen nicht. Tip: beim Integrieren stellt man sich die Fläche aus schmalen Streifen aneinandergesetzt vor (so ähnlich wie die senkrechten Bahnen eines Lamellenvorhangs). Diese Streifen liegen für eine einzelne Funktion zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse, für zwei Graphen in dem Raum zwischen ihnen. Um das anschaulich nachzuvollziehen, kannst du auch die Streifen zwischen g und f "ausschneiden" und von -3 bis 1 oben auf die x-Achse "kleben", das wäre dann der Graph zu h(x)=g(x)-f(x). Dessen Nullstellen sind dann ja die Schnittpunkte.
Auch einfache Flächen kannst du als solche zwischen zwei Kurven auffassen, die zweite Kurve ist dann die x-Achse, also g(x)=0.
lenico

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18:51 Uhr, 23.04.2014

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Achsooo okay. Danke für die Hilfe! :-) Wenn ich noch etwas fragen darf:
Wann addiert man die Flächen miteinander?

Eigentlich hätten die Nullstellen ja gleich den Schnittstellen sein sollen oder? Aber wieso sind mir andere Werte bei den Nullstellen gekommen?


lg
lenico
lenico

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18:53 Uhr, 23.04.2014

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Wann brauche ich die Nullstellen? :-) Wieso werden die hier nicht gebraucht?
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prodomo

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08:12 Uhr, 25.04.2014

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So ganz scheint dir der Zusammenhang nich klar zu sein. Ob du die Nullstellen von g(x)-f(x) suchst oder die Schnittstellen von f(x) und g(x), das ist doch nur dieselbe Aufgabe in anderer Formulierung. Ob du g(x)-f(x)=0 oder g(x)=f(x) schreibst, ist doch egal. Wenn du von einer Funktion die Nullstellen suchst, sind das doch auch Schnittpunkte (mit der x-Achse).
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