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Flächenwinkel Pyramidenwürfel

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Körper

Tags: Flächenwinkel, Körper

Schabo aktiv_icon

16:58 Uhr, 15.01.2017

Hallo,

ich muss den Flächenwinkel des Tetrakishexaeders (Pyramidenwürfel) rechnerisch bestimmen.
Die Formel findet man zwar bei Wikipedia, jedoch kann ich es nicht ganz nachvollziehen. Ich habe gar keine Idee, wie ich da vorgehen soll.

Habt ihr vielleicht Tipps für mich?

Liebe Grüße
Schabo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

abakus

17:16 Uhr, 15.01.2017

"ich muss den Flächenwinkel des Tetrakishexaeders..."

DEN? Laut Wikipedia gibt es zwei verschiedene.
Oder meinst du ein spezielles Tetrakishexaeder?

Schabo aktiv_icon

17:33 Uhr, 15.01.2017

Ja das stimmt, es gibt zwei verschiedene Flächenwinkel. Ich hätte es anders schreiben sollen.
Ich beziehe mich auf das allgemeine Tetrakishexaeder, also beide Flächenwinkel sind gesucht.

ledum aktiv_icon

19:59 Uhr, 15.01.2017

Hallo
es geht um die 2 Winkel der Pyramiden. den zur Quadrarfläche kann man elementargeometrisch ausrechnen, wenn man das Dreieck aus SeitenHöhe,

\frac{a}{2}

und Pyramidenhöhe ausrechnet.
der Winkel zwischen den Flachen ist elementargeometrisch sehr kompliziert, also nimmt man das Skalarprodukt von 2 Flächennormalen-
ich lege das Quadrat in die

x . y

Ebene, mit

a = (0,0,0), B = (a,0,0), D = 0, a,0)

und die spitze dann bei

S = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, H),

jetzt die Vektoren

b_{1} = S - A

b_{2} = S - B, b_{3} = S - D

die Normale

n_{1} = b_{1} \times b_{2}, n_{2} = b_{3} \times b_{1}

dann für den Winkel zwischen den Seitenebenen

n_{1} \cdot n_{2} = | n_{1} | \cdot | n_{2} | \cdot cos (β)

für den um Quadrat

n_{1} \cdot {(0,0,1)}^{T}

entsprechend.
Gruß ledum

Schabo aktiv_icon

21:31 Uhr, 15.01.2017

Danke für die Antwort.

Ist es aber auch möglich die Flächenwinkel ohne Vektorrechnung zu berechnen?

ledum aktiv_icon

17:01 Uhr, 17.01.2017

Hallo
ja, für den zur Würfelfläche ist es einfach, das hatte ich geschrieben, für die anderen sehe ich nur einen komplizierten Weg, brauchst du das wirklich?
Gruß ledum

Schabo aktiv_icon

20:10 Uhr, 18.01.2017

Ja ich brauche es leider und bin echt verzweifelt, weil ich einfach nicht weiß, wie ich das hinkriegen soll.

ledum aktiv_icon

01:48 Uhr, 19.01.2017

Hallo
nimm 2 benachbarte Dreiecke, fälle die Höhe auf die gemeinsame Kante, sie bilden mit der Quadratdiagonalen ein Dreieck zeichne es und bestimme daraus den Winkel. Warum denn nicht mit den Normalen? die sind der übliche Weg Winkel zwischen Ebenen zu bestimmen?
Gruß ledum

Schabo aktiv_icon

12:10 Uhr, 19.01.2017

Hey :-)
Das mit der Diagonale des Quadrats habe ich verstanden.
Aber wie mache ich das jetzt mit dem zweiten Flächenwinkle?
(Wahrscheinlich hast du das auch schon erwähnt, aber manchmal brauche ich einfach länger um es zu begreifen)
Ich bin echt überfordert mit der Aufgabe und für jede Hilfe dankbar.

ledum aktiv_icon

12:56 Uhr, 19.01.2017

Hallo
mach dir doch mal ne Skizze zuerst

3 d

dann das Dreieck.
du gibst keine Antwort darauf, warum keine Normalen ?
Gruß ledum

Schabo aktiv_icon

15:28 Uhr, 19.01.2017

Weil ich damit nicht mehr so vertraut bin (ist schon länger her, dass ich das hatte).
Deshalb habe ich mir gedacht, dass es auch ne andere Möglichkeit geben muss die Winkeln zu berechnen.
Die Skizze habe ich. Und wie bringt mich die Skizze weiter?

ledum aktiv_icon

15:39 Uhr, 19.01.2017

Welche Größen im Dreieck kennst du oder kannst die ausrechnen?
in einem Dreieck kann man alles ausrechnen, wenn man 2 Seiten und 1 Winkel, oder 1 Seite und 2 Winkel hat usw.
warum beantwortest du meine Frage zu den Normalen nicht?
ich geb doch auch Antworten?
Gruß ledum

Schabo aktiv_icon

15:59 Uhr, 19.01.2017

Ich habe doch auf deine Frage geantwortet "Weil ich damit nicht mehr so vertraut bin (ist schon länger her, dass ich das hatte) und daher nach einer anderen Möglichkeit gesucht habe."

Ich kann die kantenlänge a (welches zum Quadrat gehört) beliebig wählen. Über Kante

b

(die zur Pyramide gehört) weiß ich:

\frac{a}{2} \cdot

Wurzel

2 < b < \frac{a}{2} \cdot

wurzel3

ledum aktiv_icon

23:07 Uhr, 20.01.2017

Hallo
aber das elementargeometrische ist wirklich ein schrecklicher Umweg, Hast du Schwierigkeiten die Normalen zu finden? da du den Winkel zum Quadrat kennst ist die Normale dann auch ohne Vektorprodukt leicht zu finden.
Gruß ledum

Schabo aktiv_icon

11:20 Uhr, 21.01.2017

Ja genau. Ich weis ehrlich gesagt nicht mehr wie ich vorgehen muss, um die normalen zu finden.

ledum aktiv_icon

21:39 Uhr, 22.01.2017

Hallo
kannst Bus kennst du ein Vektorprodukt, dann bekommst du einen Normalenvektor durch das Vektorprodukt von 2 Seiten.
kannst du die Ebenen der Seitenflächen als Koordinatengleichung ay+by+cz=d schreiben, dann ist

{(a, b, c)}^{T}

ein Normalenvektor
3. wenn du die Neigung der Fl#chen zum Quadrat kennst, kennst du auch den Winkel der darauf senkrechten.
kannst du irgendwelche Vektorrechnung? Woher kommt denn die Aufgabe?
Gruß ledum

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