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Folgen (Grenzwert von oben und von unten)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Salasah aktiv_icon

20:11 Uhr, 19.12.2014

Ich hab da ne kleine Frage:
Wenn

lim_{x \to a} f (x) = c

(Wobei

x

hier von UNTEN gegen a geht) und
wenn

lim_{x \to a} f (x) = c

(Wobei

x

hier von OBEN gegen a geht), gilt dann IMMER

lim_{x \to a} f (x) = c

? (Das heißt ja, dass eine BELIEBIGE Folge

x_{n}

die gegen a konvergiert dazu führt, dass die Funktionswerte

f (x_{n})

gegen

c

konvergieren.
Bei den ersten beiden betrachten wir ja nur Folgen die von unten bzw. oben gegen a konvergieren...
Ist das trivial oder gibts da so eine Art Beweis?

Shipwater aktiv_icon

21:30 Uhr, 19.12.2014

Man muss das in der Tat erstmal beweisen. Ob es nun trivial ist oder nicht, das ist Geschmacks- bzw. Erfahrungssache. Für Anfänger ist es jedenfalls nicht trivial! Man unterscheidet folgende 3 Fälle:

\cdot x_{n} > a

für fast alle

n \in ℕ

\cdot x_{n} < a

für fast alle

n \in ℕ

\cdot x_{n} > a

sowie

x_{n} < a

für jeweils unendlich viele

n \in ℕ

Salasah aktiv_icon

21:42 Uhr, 19.12.2014

Mhm, ich wie macht man dann weiter?
Ich weiß wirklich nicht wie man das dann begründet, also auf so einen ähnlichen Ansatz bin ich auch gekommen..

. : (

Shipwater aktiv_icon

21:54 Uhr, 19.12.2014

Welcher Fall bereitet dir Probleme? Die ersten beiden sind wirklich sehr leicht.

Salasah aktiv_icon

22:16 Uhr, 19.12.2014

Ich will zeigen:
Aus

lim_{x \to a} f (x) = c

(von unten) und

lim_{x \to a} f (x) = c

(von oben) folgt

lim_{x \to a} f (x) = c

x_{n} > a

für fast alle

n \in N

heißt doch, dass endlich viele Folgenglieder kleiner als a sind. Mhm ehrlich gesagt, versteh ich auch noch nicht ganz, was mir diese Fallunterscheidung bringt. ich dachte man muss iwi mit dem

ε

rumhantieren..

Shipwater aktiv_icon

22:38 Uhr, 19.12.2014

Der springende Punkt ist eben, dass endlich viele Folgenglieder für die Konvergenz völlig irrelevant sind. Also wenn

lim_{n \to \infty} a_{n} = a

und

a_{n} = b_{n}

für fast alle

n \in ℕ

dann ist auch schon

lim_{n \to \infty} b_{n} = a

. Wenn du in deiner Situation zum Beispiel eine Folge

{(x_{n})}_{n \in ℕ}

hast mit

x_{n} < a

für fast alle

n \in ℕ

dann findest du sicherlich eine Folge

{(y_{n})}_{n \in ℕ}

mit

y_{n} < a

für alle

n \in ℕ

und

x_{n} = y_{n}

für fast alle

n \in ℕ

. Dafür änderst du einfach die endlich(!) vielen Stellen von

{(x_{n})}_{n \in ℕ}

mit

x_{n} > a

ab. Du weißt

lim_{n \to \infty} f (y_{n}) = c

nach Voraussetzung also wegen

f (y_{n}) = f (x_{n})

für fast alle

n \in ℕ

dann schließlich auch

lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = c

. Jetzt klarer?

Salasah aktiv_icon

23:54 Uhr, 19.12.2014

k . a

. iwi versteh ichs nicht. Das muss man doch irgendwie formal beweisen können... Also mit der Definitions eines Grenzwerts. Im sinne von:
Wir wissen: Für jede Folge

x_{n}

die von unten gegen a konvergiert, gilt

f (x_{n}) = c

Für jede Folge

y_{n}

die von oben gegen a konvergiert, gilt

f (y_{n}) = c

Daraus folgt (warum) dass für jede BELIEBIGE FOlge

z_{n}

die gegen a konvergiert auch

f (z_{n}) = c

gilt.

Shipwater aktiv_icon

23:58 Uhr, 19.12.2014

Das ist ein formaler Beweis. Vielleicht hilft es, wenn du länger darüber nachdenkst. Was ist dir denn unklar von dem was ich geschrieben habe? Dass sich der Grenzwert einer konvergenten Folge nicht ändert, wenn man endlich viele Stellen abändert, ist ziemlich elementar und sollte jedem bewusst sein.

Salasah aktiv_icon

00:05 Uhr, 20.12.2014

Obwohl, ja ist klar geworden. Also ist es richtig, dass wenn ich eine beliebige Folge

a_{n}

habe, dann kann sie für ein

a \in R

entweder endlich viele Glieder enthalten die größer als a sind oder endlich viele Glieder enthalten die kleiner als a sind oder unendlich viele Glieder enthalten die größer als a und unendlich viele Glieder enthalten die kleiner als a sind? Wie sieht das denn im dritten Fall aus? Also wenn es unendlich viele Glieder gibt mit

a_{n} > a

und

a_{n} < a

ledum aktiv_icon

13:36 Uhr, 20.12.2014

Hallo
um Stetigkeit zu zeigen ist fast immer das

ε - δ

Kriterium einfache, wegen des "für ALLE Folgen"
um Unstetigkeit zu zeigen dagegen da Folgekriterium. weil man da meist schnell ein Gegenbeispiel hat
Gruß ledum

Shipwater aktiv_icon

15:18 Uhr, 20.12.2014

Das kann ich so nicht unterstreichen ledum. Die Stetigkeit von

f : ℝ \to ℝ, x \mapsto x^{2}

ist mit Folgenkriterium ein Einzeiler, mit epsilon-delta-Kriterium muss man schon mehr arbeiten. Über Folgen weiß man halt schon verdammt viel, das ist hilfreich. Speziell bei dieser Aufgabe sind beide Wege leicht. Aber der TE wollte ja explizit wissen wie er für beliebige Folgen argumentieren kann. Daher ist es meiner Meinung nach nicht sinnvoll das epsilon-delta-Kriterium vorzuschlagen, weil es den Eindruck ermitteln könnte, dass es mit Folgen nicht ginge/zu schwierig ist, aber dem ist keinesfalls so. Anschließend noch zu klären wie man es mit

ε - δ

hätte machen können ist aber hingegen durchaus sinnvoll.
Zur Aufgabe: In dem Fall zerlegst du die Folge einmal in die Glieder die

> a

sind und einmal in die Glieder die

< a

sind.

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