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Folgen und Monotonieeigenschaften

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 12. Klassenstufe

Tags: Beschränktheit, Folgen, Monotonieverhalten

anonymous

13:53 Uhr, 11.11.2013

Hallo zusammen,

ich muss folgende Folgen skizzieren und auch formal (nicht nur graphisch), welche Monotonieeigenschaften sie haben und ob die Folgen beschränkt sind:

1.

a_{n} = \frac{1}{n} - 4

n \geq 1

b_{n + 1} = b_{n}^{2} - 2

b_{0} = 0

c_{n} = 2 n + (- 1)^{n}

n \geq 1

Diese Thematik ist absolut neu und ich sehe nur Hieroglyphen. Wie muss man bei solche Aufgaben beginnen?

Grüße robbie2210

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Christian09 aktiv_icon

14:45 Uhr, 11.11.2013

Hier zunächst einmal Definitionen:

Definition Monotonie

Eine Folge

(a_{n}) n \in ℕ

heißt monoton fallend (streng monoton fallend), wenn für alle

n \in ℕ

gilt:

a_{n + 1} \leq a_{n}

(streng monoton fallend:

a_{n + 1} < a_{n})

Für monoton wachsend und streng monoton wachsend wechselt das Relationszeichen (größer gleich)

Dies bedeutet für dich: Das Folgenglied 1 muss

z . B

. kleiner als das folgende Glied sein.

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Def. Beschränktheit

Eine Folge

(a_{n}) n \in ℕ

heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl

M \in ℝ

gibt, mit

a_{n} \leq M

für alle

n \in ℕ

Nach unten beschränkt genau umgekehrt.

Was das für deine Aufgaben bedeutet im nächsten Schritt.

anonymous

14:53 Uhr, 11.11.2013

Hallo Christian09,

Danke für deine schnelle Antwort. Also, wenn ich die Zahlen 1-10 für n einsetze, erhalte ich für die erste Aufgabe:

(1-4);(0,5-4);(0,33-4);(0,25-4) usw. n wäre doch dann immer kleiner als 1, stimmt's?

Christian09 aktiv_icon

14:59 Uhr, 11.11.2013

Für die Monotonie bedeutet dies:

Setz mal Werte ein und guck ob die Ergebnisse steigen oder fallen. Das Ergebnis ist dann deine Annahme. Sollte das Ergebnis immer steigend (nicht gleich) sein, dann ist die Folge streng monoton steigend.

Ist das Ergebnis immer kleiner, dann ist das Ergebnis streng monoton fallend.

Beispiel:

a_{n} = 4 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n}

a_{1} = 4 \cdot {(\frac{1}{3})}^{1} = \frac{4}{3}

a_{2} = 4 \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{4}{9}

a_{3} = 4 \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} = \frac{4}{27}

Annahme: Die Folge ist streng monoton fallend.

Beweis:

z . Z

a (n) \geq a (n + 1)

(Definition monoton fallend)

\Rightarrow 4 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n} \geq 4 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n + 1}

\Rightarrow 4 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n} \geq 4 \cdot {(\frac{1}{3})}^{n} \cdot \frac{1}{3}

\Rightarrow 1 \geq \frac{1}{3}

\Rightarrow 3 \geq 1 q . e . d

Die Folge ist monoton fallend. Da immer

3 > 1

gilt, ist die Folge streng monoton fallend.

Christian09 aktiv_icon

15:02 Uhr, 11.11.2013

Stimmt. Dein

n

wird immer kleiner. Also kannst du jetzt annehmen, nachdem du so die Ergebnisse betrachtet hast, dass deine Folge streng monoton fallend ist (weil ihre Werte in deiner Probe immer kleiner wurden) - also machst du jetzt nach der Definition die Überprüfung (so wie ich es im Beispiel auch getan habe). Das wird sich dann wahrscheinlich bestätigen und du kannst deine Aussage treffen, dass sie streng monoton fallend ist.

Zur Erklärung des Beispiels:

a^{n + 1} = a^{n} \cdot a

Falls du dich fragen solltest, warum ich die

\frac{1}{3}

herausgezogen habe.

anonymous

15:12 Uhr, 11.11.2013

Aha, also muss man generell so vorgehen, wie du es beschrieben hast. 1. Zahlen einsetzen und 2. Überprüfung durch Beweis. Das würde bedeuten, dass bei

c_{n}

2 * 0 + (- 1)^{0} = - 1

2 * 1 + (- 1)^{1} = 1

2 * 2 + (- 1)^{2} = 5

2 * 3 + (- 1)^{3} = 5

2 * 4 + (- 1)^{4} = 9

2 * 5 + (- 1)^{5} = 9

2 * 6 + (- 1)^{6} = 13

2 * 7 + (- 1)^{7} = 13

2 * 8 + (- 1)^{8} = 17

2 * 9 + (- 1)^{9} = 17

2 * 10 + (- 1)^{1} 0 = 21

Monoton steigend

Christian09 aktiv_icon

15:17 Uhr, 11.11.2013

Hallo - das mit der Probe habe ich immer gemacht, um vorher eine Annahme zu machen und dann den Beweis durchzuführen. Möglich, dass ihr nur den Beweis machen müsst und damit dann automatisch zeigt, wie das Monotonie verhalten ist.

Nach deiner Probe ist klar zu erkennen, dass die Folge nicht "streng monoton steigend" ist, sondern nur "monoton steigend", da manche Folgeglieder gleich sind.

Aber so viel, wie du aufgeschrieben hast, ist definitiv zu viel.

Was du bei dieser Folge aber auf jeden Fall zeigen musst:

a (n) \leq a (n + 1)

\Rightarrow 2 n + {(- 1)}^{n} \leq 2 (n + 1) + {(- 1)}^{n + 1}

\Rightarrow ... . .

.

Aber beachte die Fallunterscheidung:

n

ist gerade,

n

ist ungerade

anonymous

16:33 Uhr, 11.11.2013

gerade<ungerade

n soll größer als 1 sein, aber wir haben festgestellt, dass die Zahl immer kleiner wird und gegen 0 strebt.

EDIT: Somit ist die 1. Aufgabe gelöst.

Christian09 aktiv_icon

17:05 Uhr, 11.11.2013

In deiner Beispielaufgabe musst du unterscheiden. Diese hatte ja die Form:

a_{n} = 2 n + {(- 1)}^{n}

Wenn du deine Beispielwerte siehst, dann erkennst du, dass immer zwei Werte gleich sind. Daher kann sie ja auch nicht mehr streng monoton steigend sein, sondern nur noch monoton steigend.

Nun ist es so.

{(- 1)}^{2} \neq {(- 1)}^{3},

denn

(- 1) \cdot (- 1) \neq (- 1) \cdot (- 1) \cdot (- 1)

und somit

1 \neq - 1

Das bewirkt, dass deine Folge an manchen Stellen das gleiche Ergebnis hat.

Jetzt rechnen wir also

1. Fall für

n

ist gerade

2 n + {(- 1)}^{n} \leq 2 \cdot (n + 1) + {(- 1)}^{n + 1}

\Rightarrow 2 n + 1 \leq 2 \cdot (n + 1) - 1 |

n -

gerade ist, ist

n + 1

ungerade

\Rightarrow 2 n + 1 \leq 2 n + 2 - 1

\Rightarrow 2 n + 1 = 2 n + 1

Also ist

a (n) = a (n + 1)

Ok, wir wissen, dass die Folgenglieder gleich sind, wenn

n

Gerade ist. Wie ist dies aber mit ungeraden n?

2. Fall für

n

ist ungerade

2 n + {(- 1)}^{n} \leq 2 \cdot (n + 1) + {(- 1)}^{n + 1}

\Rightarrow 2 n - 1 \leq 2 \cdot (n + 1) + 1 |

n -

ungerade ist, ist

n + 1

gerade

\Rightarrow 2 n - 1 \leq 2 n + 2 + 1

\Rightarrow 2 n \leq 2 n + 4

\Rightarrow 0 \leq 4

\Rightarrow 0 < 4

Also ist

a (n) < a (n + 1)

Aus Fall 1 und Fall zwei folgt:

a (n) \leq a (n + 1)

Es gibt also die Möglichkeit, dass die Nachfolger gleich sind wie ihre Vorgänger oder aber grösser. Damit hättest du das jetzt gezeigt, dass das Monotonie Verhalten für die Folge gilt.

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

Tip:

Wenn du dir das nochmal durch den Kopf gehen lässt, dann weißt du auch wer mit wem gleich ist.

Du hast

n

gerade gesetzt, sein Nachfolger

(n + 1)

ist gleich.

Ungleich ist der Nachfolger eines ungeraden

n

. Denn bei ungerade

n

ist

(n + 1)

grösser.

anonymous

17:19 Uhr, 11.11.2013

Also, muss ich in Zukunft generell Fallunterscheidungen machen. So müsste ich bei 2.) einmal gerade sowie ungerade Werte für n einsetzen. Setze ich gerade Zahlen ein, dann habe ich immer eine ungerade Zahl z.B.

(b_{2 + 1})

. Ich weiß zwar nicht welchen Einfluss das n unter

b^{2}

hat, aber es ist bei geraden Zahlen gerade und bei ungeraden Zahlen ungerade.

anonymous

17:30 Uhr, 11.11.2013

Auf jeden Fall ein fettes Dankeschön an Christian09, der mir mühevoll versucht hat durch den "Folgendschungel" zu führen. Ich muss es erstmal verdauen, aber in Zukunft kann ich mir mehr unter dieser Thematik vorstellen. Leider muss ich aus Zeitgründen das Thema schließen und bei 2. improvisieren. Ein schönen Abend noch.

Grüße robbie2210

Christian09 aktiv_icon

17:35 Uhr, 11.11.2013

Nein. Das war in deinem Beispiel nötig, da es durch die

{(- 1)}^{n}

zu unterschiedlichen Ergebnissen kommt. Es hat Einfluss darauf, ob was addiert oder abgezogen wird. Vielleicht kann dir das jemand besser erklären. Ich würde das für einen Spezialfall halten. Mein Beispiel brauchte keine Fallunterscheidung. Den Hinweis haben mir übrigens deine Beispielaufgaben gegeben. Ich habe mir dazu überlegt, wie ich nun zeige, dass einmal

a (n) < a (n + 1)

gilt und einmal

a (n) = a (n + 1)

. Ich habe überlegt, woran das liegt und schnell gesehen, dass es an

{(- 1)}^{n}

liegt. Also machte ich eine Fallunterscheidung.

Weiß nicht, wie ich dir das besser erklären kann.

Christian09 aktiv_icon

17:39 Uhr, 11.11.2013

Zu deiner Aufgabe 1 beispielsweise brauchst du dies keinesfalls zu tun.

a (n) \geq a (n + 1)

\Rightarrow \frac{1}{n} - 4 \geq \frac{1}{n + 1} - 4

\Rightarrow \frac{1}{n} \geq \frac{1}{n + 1}

\Rightarrow 1 \geq \frac{1}{n + 1} \cdot n

\Rightarrow 1 \geq \frac{n}{n + 1}

\Rightarrow n + 1 \geq n

Und dies ist eine wahre Aussage, also

q . e . d

Da sogar

n + 1 > n

gilt - ist deine Folge "streng monoton fallend"

Hier habe ich mir übrigens im Kopf schon klar gemacht, dass je grösser der Nenner des Bruchs wird, desto kleiner wird dieser Bruch. Also wird meine Folge immer kleiner und somit habe ich auch mit der Annahme begonnen, dass die Folge monoton fallend ist.

Ich hätte mich aber auch vertun können und vielleicht so angefangen

a (n) \leq a (n + 1)

dann hätte sich aber am Ende gezeigt

n + 1 \leq n

und diese Behauptung wäre falsch gewesen, also ein Widerspruch zu meiner Annahme, dass die Folge monoton steigend ist und ich würde daraus folgern, dass sie monoton fallend ist. Ein Widerspruch zu deiner Annahme ist also kein Beinbruch, du musst nur den richtigen Rückschluss daraus ziehen.

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