Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Fourierreihe mit f(x)=|x|, Probleme mit ak

Fourierreihe mit f(x)=|x|, Probleme mit ak

Universität / Fachhochschule

Tags: Fourierreihe, reih

Rapho aktiv_icon

11:47 Uhr, 06.01.2015

Hallo miteinander!

Ich möchte für

f (x) = | x |,

Intervall

[- 2,2]

eine Fourier-Reihe berechnen.

Die Funktion soll periodisch fortgesetzt werden mit

T = 4

. Habe ich das richtig erkannt, dass die Funktion symetrisch zur y-Achse ist?

Wenn die Funktion symetrisch zur y-Achse ist, ist ja

b = 0 . .

.

Die Grundformel lautet ja:

f (x) = a + \sum (a \cdot cos (k \cdot w \cdot t) + b \cdot sin (k \cdot w \cdot t))

Das zweite a soll "a index k" sein, ebenso das

b

.

Nun möchte ich a berechnen:

a = (\frac{2}{T}) \cdot \int_{0}^{T}

von (

f (t)

. cos(kwt))

d t

ebenso geht ja:

a = (\frac{4}{T}) \cdot \int_{0}^{\frac{T}{2}} (f (t)

. cos(kwt))

d t

= \frac{4}{4} \cdot \int_{0}^{2} (| t |

. cos(kwt))

d t

= \int_{0}^{2} (| t |

. cos(kwt))

d t

Ich wollte dieses Intergral jetzt eigentlich mit partieller Integration lösen(so ist es eigtl vorgegeben). Leider komme ich wegen dem

| t |

auf keine sinnvolle Lösung

. .

.

meine partielle Integration ergab: -sin(kwt)

\cdot 1

/(kw)

\cdot | t | - \int_{0}^{2}

-sin(kwt)

\cdot 1

/(kw)

\cdot \frac{t}{| t |}

Hier komme ich nicht weiter

. .

. wie kann ich das Integral lösen?

Ebenso bei der Berechnung von a index

0 . .

a = \frac{1}{T} \cdot \int_{0}^{T} f (t) d t . .

. hier hab ich das gleiche Problem .. was mache ich mit dem Betrag von

t

?

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
Danke schonmal!

DrBoogie aktiv_icon

12:39 Uhr, 06.01.2015

"Leider komme ich wegen dem

∣ t ∣

auf keine sinnvolle Lösung "

In dem Bereich der Integration (Intervall

[0, 2]

) gilt

∣ t ∣ = t

, also stört der Betrag gar nicht.

Rapho aktiv_icon

21:09 Uhr, 06.01.2015

Hallo! Ja stimmt...habe jetzt so weitergerechnet. Ich stell mich nur noch bisschen doof bei der Berechnung des Integrals an, bei mir kommt da ein sehr unhandlicher Therm raus.

T = 4

(Periodendauer);

w

ist

ω

= \frac{2}{T}

⋅

\int_{0}^{T} (t

. cos(kwt))

d t

= \frac{4}{T}

⋅

\int_{0}^{\frac{T}{2}} (t

. cos(kwt))

d t

= \frac{4}{T} \cdot \int_{0}^{2} (t

. cos(kwt))

d t

= \int_{0}^{2} (t

. cos(kwt))

d t

Nun möchte ich das Integral mit partieler Integration lösen

= -

sin(kwt)

\cdot 1

/(kw)

\cdot t - \int_{0}^{2} - sin

(kwt)* 1/(kw)

= -

sin(kwt)

\cdot 1

/(kw)

\cdot t + [

-cos(kwt)

\cdot

1/(kw)²

]

Grenzen 2 und 0

usw

. .

.

ich komme auf ein wahnsinnig unelegantes Ergebnis

. .

. kann mir jeamdn sagen was denn rauskommen müsste?

Viele Grüße

Ventura aktiv_icon

21:55 Uhr, 06.01.2015

Hallo Rapho
Deine Grundüberlegungen sind korrekt.

Du möchtest den Koeffizienten

a_{n}

berechnen.
Dieser ist allgemein definiert als:

a_{n} = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f (x) c o s (\frac{2 π n x}{L})

In deinem Fall ist L=4. Wie du richtig erkannt hast kannst du zwei mal den Teil zwischen 0 und 2 nehmen und erhältst:

a_{n} = \int_{0}^{2} x c o s (\frac{π n x}{2})

Dies kannst du mit partieller Integration lösen. (Findet sich in jedem Formelbuch)

Du solltest aber nicht vergessen den Mittelwert der Funktion

c_{0}

zu berechnen.
(Dieser ist in deinem Beispiel einfach

1

; Das sieht man ohne zu rechnen)

Zur Korrektur gebe ich dir mal meine Lösung:

F R (f (x)) = 1 - \frac{8}{π^{2}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{C o s [\frac{π}{2} (2 k + 1) x]}{(2 k + 1)^{2}}

Rapho aktiv_icon

10:52 Uhr, 07.01.2015

Hallo, danke du hast mir schonmal weitergeholfen.

Ich tue mich allerdings immer noch schwer damit dieses Integral richtig zu lösen und zusammenzufassen.

an

= \int_{0}^{2}

x*cos(πnx/2)

Ich habe die part.Int. so angewandt:

\int v

u' = u \cdot v - \int u \cdot v'

Das

x

ist bei mir nun

v

und

cos (Π n x)

ist

u'

Damit komme ich auf:

- sin (\frac{Π n x}{2}) \cdot \frac{1}{Π n} \cdot x - \int_{0}^{2} - sin (\frac{Π n x}{2}) \cdot \frac{1}{Π n} \cdot 1

= - sin (\frac{Π n x}{2}) \cdot \frac{1}{Π n} \cdot x + {[cos (\frac{Π n x}{2}) \cdot (\frac{1}{Π \cdot n}) \cdot (\frac{1}{Π \cdot n})]}_{0}^{2}

= - sin (\frac{Π n x}{2}) \cdot \frac{1}{Π n} \cdot x + (cos (Π n) \cdot (\frac{1}{Π \cdot n}) \cdot (\frac{1}{Π \cdot n}) - (\frac{1}{Π \cdot n}) \cdot (\frac{1}{Π \cdot n}))

= - sin (\frac{Π n x}{2}) \cdot \frac{1}{Π n} \cdot x + ((\frac{1}{Π \cdot n}) \cdot (\frac{1}{Π \cdot n}) \cdot (cos (Π n) - 1))

Und hier komme ich nicht so richtig weiter

. .

. kann mir da jemand noch nen tipp geben? Danke schonmal!

Ventura aktiv_icon

19:22 Uhr, 07.01.2015

hmm...I see
Ich schreibe dir mal allgemein hin wie das funktioniert mit der Partiellen Ableitung:

\int_{a}^{b} v \cdot u ʹ = [v \cdot u]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v ʹ \cdot u

Du siehst also den mittleren Term kannst du direkt auswerten.
Was ergibt

s i n [π n]

für ganze Zahlen

n

?
Was ergibt

s i n [0]

?
Dann weiter musst du noch das verbleibende Integral berechnen:
Dieses hast du fast richtig ausgewertet:
aber bemerke:

\int c o s [\frac{π n x}{2}] = \frac{2}{π n} s i n [\frac{π n x}{2}]

Du hast also zwei mal den Faktor zwei vergessen. Der Rest stimmt aber aber.
Deine

a_{n}

sind dann:

a_{n} = \frac{4}{π^{2} n^{2}} (c o s [π n] - 1)

überleg mal was dieser cosinus Term für deine

a_{n}

bedeutet.

LG Ventura

Rapho aktiv_icon

21:31 Uhr, 07.01.2015

Kann mir jemand sagen wo und wie genau ich eine Fourier-Reihe plotten kann. Meine Versuche es mit geogebra zu machen oder auf wolfralalpha haben mich die die Verzweiflung getrieben. Gibts es da eine halbwegs einfache Möglichkeit das umzusetzen?

ledum aktiv_icon

21:39 Uhr, 07.01.2015

Hallo
in geogebra kannst du die ersten paar summanden eingeben, in wolfram als Summe aber eben nicht bis unendlich versuch bis

20

. dann sieht man wie es läuft
und rechne vorher die

cos (n \cdot π)

in Zahlen um!
Gruss ledum

Rapho aktiv_icon

21:55 Uhr, 08.01.2015

Mh... ok danke. Also wolframalpha hats irgendwie nicht gepackt..zumal man da ja auch die kostenpflichtige pro version braucht wenn man den plot groß anschauen möchte.

Mit geogebra hab ichs hinbekommen

. .

. man muss halt erstmal das programm verstehen was nicht unbedingt eine lappalie ist ;-)

f (t) := 1 + \sum [\frac{4}{9.8696 \cdot (k^{2})} \cdot (cos (k \cdot 3.1415) - 1) \cdot cos (k \cdot 1.5707 \cdot t), k, 1, 3]

Danke!

1209263

1208635

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?