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Frage zur Multiplikation von 2 Matrizen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

dahood82 aktiv_icon

18:25 Uhr, 29.07.2010

Hallo, ich hab hier eine Frage mit Lösung, leider versteh ich nicht wie man auf die Lösung kommt.

Orthogonal matrix, we say that a matrix A is orthogonal if

A A^{T} = A^{T} A = 1

Show that

A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & - \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}]

is orthogonal.

Solution

A^{T} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}] \Rightarrow A A^{T} = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & - \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Wie geht nochmal die Multiplikation

A A^{T},

ich weiß das es was mit dem skalarprodukt zu tun hat aber ich habe nichts, keine Formelsammlung oder sonstige hilfsmittel außer meinem TI-Voyage, aber der kann nicht reden und wenn ich google benutze, kann ich keine fragen stellen, daher frage ich lieber hier.

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18:28 Uhr, 29.07.2010

Schau dir evtl mal ein paar Videos dazu an:

http//www.oberprima.com/index.php/matrizenmultiplikation/nachhilfe

dahood82 aktiv_icon

18:34 Uhr, 29.07.2010

Danke für den tip aber ich kann keine Videos etc. anschauen. Ich wohne nicht in Deutschland. hier wo ich wohne kann ich vor glück reden wenn meine Internetverbindung eine geschwindigkeit von 30kb/s hat unzwar im besten falle.

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18:48 Uhr, 29.07.2010

Dann schau es dir mal genau an:

http//www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/hammproj3/definitionen/matmult.htm

dahood82 aktiv_icon

20:09 Uhr, 29.07.2010

danke, das hat mir weitergeholfen.

dahood82 aktiv_icon

21:46 Uhr, 29.07.2010

Sorry, ich habe noch eine Rückfrage.

Homework Show that the matrix

A = [\begin{matrix} cos (x) & sin (x) \\ - sin (x) & cos (x) \end{matrix}]

is orthogonal

A^{T} = [\begin{matrix} cos (x) & - sin (x) \\ sin (x) & cos (x) \end{matrix}]

A A^{T} = [\begin{matrix} cos (x) & sin (x) \\ - sin (x) & cos (x) \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} cos (x) & - sin (x) \\ sin (x) & cos (x) \end{matrix}]

= [\begin{matrix} {cos}^{2} (x) + cos (x) \cdot sin (x) & - {sin}^{2} (x) + sin (x) \cdot cos (x) \\ - sin (x) + cos (x) \cdot (- {sin}^{2} (x)) & {cos}^{2} (x) + cos (x) \cdot (- sin (x)) \end{matrix}]

Ich bin mir sicher das es orthogonal ist, soweit ich mich zurückerinnern kann. Aber ab hier ist bei mir endstation.

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23:59 Uhr, 29.07.2010

Du hast die Matrizenmultiplikation leider noch nicht so ganz durchschaut.
1. Zeile von A und 1. Spalte von A^T ergeben den ersten Eintrag der 1. Zeile für AA^T, also cos(x)*cos(x)+sin(x)*sin(x)
1. Zeile von A und 2. Spalte von A^T ergeben den zweiten Eintrag der 1. Zeile von AA^T, also cos(x)*(-sin(x))+sin(x)*cos(x)
usw.

Denke beim Zusammenfassen auch daran:

http//de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrischer_Pythagoras

dahood82 aktiv_icon

14:35 Uhr, 30.07.2010

A A^{T} = [\begin{matrix} cos (x) & sin (x) \\ - sin (x) & cos (x) \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} cos (x) & - sin (x) \\ sin (x) & cos (x) \end{matrix}]

= [\begin{matrix} cos (x) \cdot cos (x) + sin (x) \cdot sin (x) & cos (x) \cdot (- sin (x)) + sin (x) \cdot cos (x) \\ (- sin (x)) \cdot cos (x) + cos (x) \cdot sin (x) & {sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) \end{matrix})]

= [\begin{matrix} {cos}^{2} (x) + {sin}^{2} (x) & cos (x) \cdot (sin (x) - sin (x)) \\ cos (x) \cdot (sin (x) - sin (x)) & {sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) \end{matrix})]

stimmt das bis hier hin?

= [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

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15:40 Uhr, 30.07.2010

Ja, stimmt alles.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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