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Fragen zur Relationen in Algebra

Schüler

Tags: Algebra, Menge, Relation.

Mr-Maths aktiv_icon

18:36 Uhr, 15.10.2015

Hallo, ich habe eine Frage zu den Relationen.

Bsp:

A = {a, b, c}

und

A x A = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}

R \subseteq A x A .

Angeommen wir haben die Gleichheitsrelation "=". Wie finde ich heraus, ob diese Relation symmetrisch, transitiv, reflexive etc. ist?

Weiß man mit den oben vorhandenen Information, welche Paar in der Teilmenge von AxA enthalten sind, also in R?

Gruß
Mr-Maths

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

21:15 Uhr, 15.10.2015

>

Angeommen wir haben die Gleichheitsrelation "=". Wie finde ich heraus, ob diese Relation symmetrisch, transitiv, reflexive etc. ist?

Indem du die entsprechenden Definitionen für deine gesamte, ja überaus überschaubare, Relation überprüfst.

>

Weiß man mit den oben vorhandenen Information, welche Paar in der Teilmenge von AxA enthalten sind, also in R?

??? Welche "oben vorhandenen Informationen" meinst du? Wenn eine Relation gegeben ist, dann kennst du doch

R,

weißt also, welche Paare aus AxA dort enthalten sind.
Und wenn du noch immer von der Gleichheitsrelation sprichst, dann werden das ja wohl nur drei Paare sein können.

R

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22:28 Uhr, 15.10.2015

Hm ok danke.

Ich habe z.B. hier eine Aufgabe:
1. Geben Sie für jede mögliche Kombination der Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und transitiv eine entsprechende Relation

{}! = R \subseteq A x A

A = {a, b, c}

Heißt das jetzt ich soll 4 verschiedene Relationen finden, wo die jeweiligen Eigenschaften gilten? Refl., sym. und sym. trans. und trans. refl. und alle drei zusammen?

Wie soll ich da Relationen bilden, wenn ich net mal weiß was a,b,c genau ist. Mit konkreten Objekten wäre das ja einfacher oder net?

Roman-22

03:28 Uhr, 16.10.2015

>

Heißt das jetzt ich soll 4 verschiedene Relationen finden
Nein, 8. Zusätzlich zu denen, die du dir überlegt hast noch je eine, in der nur zwei der Eigenschaften gelten, die dritte aber nicht und außerdem gibts da ja noch die Möglichkeit einer Relation, die keine der drei Eigenschaften hat.

Ein Beispiel für letztere ist etwa

R = {(a, a), (b, b), (b, a), (a, c)}

R

ist nicht reflexiv, weil

(c, c)

fehlt

R

ist nicht symmetrisch, weil sie

(a, b)

enthält, aber nicht

(b, a)

(ebenso auch

(a, c),

aber nicht

(c, a))

R

ist nicht transitiv, weil mit

(b, a)

und

(a, c)

auch

(b, c)

enthalten sein müsste, aber nicht ist.

Beispiele für Relationen, die alle drei Eigenschaften haben, sind etwa

R = {(x, x) | x \in A} = {(a, a), (b, b), (c, c)},

also die Gleichheitsrelation
oder

R = A \times A,

also Gruppensex - jeder ist mit jedem in Beziehung.

Na und für die sechs anderen Fälle musst du eben geschickt das eine oder andere Paar weglassen, damit diese oder jene Eigenschaft eben nicht gegeben ist.

Die leere Relation

R = {}

wäre übrigens ein Beispiel für eine Relation, die symmetrisch und transitiv, aber nicht reflexiv ist. Allerdings ist diese Relation in der Angabe explizit ausgeschlossen.

R

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07:40 Uhr, 16.10.2015

Ah okay danke jetzt verstehe ich es.

"Geben Sie alle möglichen Äquivalenzrelationen auf A und die dazugehörigen Äquivalenzklassen an."

Äquivalenzrelationen wäre transitiv, symmetrisch und reflexiv. Also R = AxA richtig?

Aber was sind da die Klassen? Ich weiß ja ned, ob a ähnlich b ist oder c.

Wenn ich eine Menge M = {Ochse, Kuh, Huhn} von Tieren habe.

Und es heißt, dass alle Nutztiere gleich sind. Dann wäre ochse~kuh, aber Ochse nicht~ Huhn.

Also würde die Äquivalenzklasse "Nutztiere" Kuh und Ochse beinhalten, oder?

Wie beziehe ich das nun auf mein Bsp?

Roman-22

08:59 Uhr, 16.10.2015

>

Äquivalenzrelationen wäre transitiv, symmetrisch und reflexiv.
So ist die Definition, ja.

>

Also

R =

AxA richtig?
Du sollst ALLE Äquivalenzrelationen angeben, nicht nur eine!

>

Aber was sind da die Klassen? Ich weiß ja ned, ob a ähnlich

b

ist oder

c

.
Natürlich weißt du das! Wenn in deiner Relation das Paar

(x, y)

vorkommt, dann ist eben

x ~ y

. Das ist ja nur eine andere Schreibweise. Die Symmetrie garantiert ja dann, dass auch

(y, x)

Element deiner Relation ist, also

y ~ x

gilt und somit liegen

x

und

y

in derselben Klasse.

Wenn du

R = A \times A

betrachtest, dann gibt es nur eine einzige Ä.klasse, in der alle Elemente von A liegen, weil jeder zu jedem in Relation steht, also alle zueinander ähnlich sind.

In deinem Beispiel hast du keine Relation zwischen den Tieren definiert, daher kannst du auch nicht Ä.klassen bilden. Was du da mit "Nutztier" anfangen willst, weiß ich nicht. Relation könnte sein:

x ~ y \Leftrightarrow

"x und

y

haben gleiches Geschlecht". Dann besteht deine Relation aus den fünf Paaren

(O, O), (K, K), (H, H), (K, H), (H, K)

und zwei Ä.klassen, nämlich

{O}

und

{H, K}

R

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13:17 Uhr, 16.10.2015

Ahh OK, danke ich verstehe immer besser.

D.h. also, dass alle Elemente in einer Klasse sind, da sie allesamt zueinander "Äquivalent" sind, also halt reflexiv, symmetrisch und transitiv. Richtig?

Aber warum gibts mehr als eine Äq-relation?

Roman-22

14:14 Uhr, 16.10.2015

Warum sollte es nicht mehr als eine Äquivalenzrelation in

A \times A

geben?
Ich hab dir doch sogar in einer vorhergehenden Antwort zwei genannt, nämlich

R = A \times A

und jene, die nur aus den Paaren

(x, x)

besteht. Es gibt noch weitere, zB so wie in deinem Kuh,Bulle,Huhn Beispiel.
Du musst dich vermutlich vorstellungsmäßig von dem lösen, was du unter Äquivalenz verstehst und dich rein formal auf die Eigenschaften reflexiv, transitiv und symmetrisch beschränken.

R

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16:13 Uhr, 16.10.2015

D.h. also, dass ~ = {(a,a), (b,b), (c,c)} eine Äquivalenzrelationen ist?

D.h., diese müsste reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.
Ich erkenne hier aber nur Reflexivität. Warum is das eine Äquivalenzrelationen?

Roman-22

17:04 Uhr, 16.10.2015

Ja, das ist eine.

symmetrisch: zu jedem Paar

(x, y)

muss auch

(y, x)

in der Relation enthalten sein. Das ist für alle drei Paare der Relation trivialerweise erfüllt (da immer

x = y

ist)

transitiv: wenn

(x, y)

und

(y, z)

enthalten sind, dann muss auch

(x, z)

enthalten sein. Auch das ist in trivialer Weise erfüllt. ZB:

(a, a) \in R \land (a, a) \in R \Rightarrow (a, a) \in R

.

Überprüfe, dass zB auch

R = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}

ist eine Äquivalenzrelation ist.

R

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17:29 Uhr, 16.10.2015

Achso, okay.

Naja dein letzteres Beispiel ist natürlich auch ne Aq-Relation, da durch das hinzufügen der Paare (a,b), (b,a) nichts verändert wird. Die 2 drücken halt Symmetrie aus. Würde man nur man schreiben

R = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, a)}

dann wärs keine Äquivalenzrelation, da dieses (b,a) dann irrt, oder?

Roman-22

17:54 Uhr, 16.10.2015

Ja, die Symmetrie verlangt, dass wenn

(b, a) \in R,

dann muss auch

(a, b) \in R

sein.
Beachte auch, dass zB die Transitivität verlangt, dass mit

(a, b)

und

(b, a)

auch

(a, a)

(und auch

(b, b))

enthalten sein muss. Natürlich verlangt auch die Reflexivität, dass

(a, a) \in R

sein muss.

Mr-Maths aktiv_icon

18:21 Uhr, 16.10.2015

Ahh ok, ich verstehe, danke dir!!

Also haben wir folgende Äquivalenzrelationen:
1. R = AxA
2. R =

{(a, a), (b, b), (c, c)}

3. R =

{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, a)}

4. R =

{(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (b, c), (a, c)}

5. R =

{(a, a), (b, b), (c, c), (c, a), (a, c)}

6. R =

{(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)}

Hmm, aber da gehen ja voll viele, sehe ich das richtig?
Kann ich da z.B. nicht auch R =

{(b, b), (c, c)}

für eine Äq-Rel. schreiben?

Hm warum verlangt das die Transitivität? Naja es wird schon immer besser, es fehlt nur noch der "Feinschliff".

Roman-22

18:47 Uhr, 16.10.2015

>

Also haben wir folgende Äquivalenzrelationen:
Nein, haben wir nicht.
Mindestens eine der sechs ist keine Äquivalenzrelation! Welche, und warum?

>

Hmm, aber da gehen ja voll viele
Naja, du kannst

512

verschiedene Relationen aus

A \times A

basteln und dass gerade einmal fünf davon Äquivalenzrelationen sind, würde ich nicht als "voll viele" bezeichnen.

>

Kann ich da

z . B

. nicht auch

R = {(b, b), (c, c)}

für eine Äq-Rel. schreiben?
Ja, dieses

R

ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge

A \ {a},

aber keine auf der Menge

A,

so wie verlangt.

>

Hm warum verlangt das die Transitivität?
Nochmals:
Transitivität:

(x, y) \in R \land (y, z) \in R \Rightarrow (x, z) \in R

Und jetzt setze

x = a, y = b, z = a

und schau was dann da steht.

>

Naja es wird schon immer besser, es fehlt nur noch der "Feinschliff".
Schön, wenn sich der Nebel lichtet.
Weniger schön allerdings, dass du in zwei Foren gleichzeitig mit den gleichen Fragen "quälst"

\to

www.matheboard.de/thread.php?postid=2012161#post2012161
Es würde sicher zum guten Ton gehören, zumindest auf das Crossposting hinzuweisen und dann den Antwortgebern die Entscheidung zu überlassen, ob sie trotzdem antworten möchten.
Außerdem finde ich, dass eine Frage wie diese, mit eher geringem Dringlichkeitsgrad, die mehr auf grundlegendes Verständnis und Erarbeitung eines höheren Abstraktionsniveaus abzielt, Crossposting kaum rechtfertigt.

R

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19:25 Uhr, 16.10.2015

Okay, sorry für den Cross-Posting, du hast recht. Habe drüben gesagt, dass man den Thread schließen sollen, werde drüben nichts mehr Antworten, tur mir leid nochmals.

Zurück zum Thema bitte:
Also Nr. 1 ist schon mal eine Aq-Relation, weil sie einfach alle Paare enthält, die zueinander symmetrisch, transitiv und reflexiv sind.

Nr. 2 ist auch symmetrisch, transitiv und reflexiv. Naja da einfach, wie schon schon gesagst hast xRy -> yRx für die Symmetrie gilt und dann gilt einfach aRa --> aRa und dasselbe für die b's und c's. Mit reflexive und transitiv gilt dasselbe, wie du oben schon gesagt hast.

Nr. 3 Naja a,a b,b und c,c, erfüllen ja schon die bedingungen mit hinzufügen von a,b b,a werden die bedingungen weiter erfüllt. da a,b und b,a symmetrisch ist. Dasselbe gilt doch auch für Nr. 5 und Nr.6

Also muss der Hund bei Nr.4 begraben sein? Verstehe aber nicht warum:
Nr. 4 ist erfüllt doch auch die Bedingungen, oder? die letzten 3 paare zeigen z.b. Transitivität.

Gib mir bitte nochmals eine Hilfestellung.

Roman-22

20:04 Uhr, 16.10.2015

>

Also muss der Hund bei Nr.4 begraben sein?
oder bei Nr.5 oder bei Nr.6

>

Nr. 4 ist erfüllt doch auch die Bedingungen, oder?
Welche? Alle drei? Wirklich? Prüfe nochmals nach!

>

die letzten 3 paare zeigen

z . b

. Transitivität.
Darum gehts doch nicht, dass "3 Paare Transitivität 'zeigen'".
Mit zwei BELIEBIG gewählten Paaren

(x, y)

und

(y, z)

aus

R

muss IMMER auch

(x, z) \in R

zu finden sein. Aber die Transitivität ist hier ohnedies nicht da Problem.
Was könnte es dann noch sein?

R

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20:33 Uhr, 16.10.2015

Okay, machen wir es der Reihe nach bitte, zuerst Nr.4:

-Reflexivität ist erfüllt da xRx, also: aRa, bRb und cRc.

-Symmetrie:

x R y - - > y R x

(also wenn

(x, y) \ i n R

dann muss auch

(y, x) \ i n R

sein): aRa --> aRa und dasselbe mit b und c

- Transitivität: Wenn es

x R y

UND

y R z

gibt, dann muss es auch

x R z

geben, wie du sagtest. Also:

a R b

UND

b R c

gibt es ja schon und es ist auch

a R c

drinnen, also ist die Bedingung erfüllt. Richtig?

Aber moment mal! Die Symmetrie besagt ja, wie oben erwähnt, wenn es ein

x R y

gibt, dann muss es auch ein

y R x

geben. Nr.4 zeigt

a R b

, aber wo ist das

b R a

? Nicht da, also ist es nicht symmetrisch, so wie es jetzt da steht, richtig?

Bei Nr. 4 müsste man also noch

(b, a)

(c, b)

und

(c, a)

hinzufügen, sodass Symmetrie herrscht. Ist das so richtig jetzt? Und dann wären wir wieder bei Nr.1 angelangt.

Roman-22

20:43 Uhr, 16.10.2015

Ja genau so ist es! Die Symmetrie war verletzt und die Reparatur führt dich flugs zu

A \times A

und liefert damit nichts Neues.

R

Mr-Maths aktiv_icon

20:54 Uhr, 16.10.2015

Na dann habe ich ja schon 5 Äquivalenzrelationen beisammen, denn nr. 5 und nr. 6 verletzen ja keine der Bedingungen, da es kein xRy UND yRz gibt, sondern nur xRy und yRx.

Also Nr. 1,2,3,5,6 sind meine Äq-Relationen?

PS: Gibt es da einen einfachen Trick, wie man sofort weiß, wieviele Äq-Relationen man hat bei x Elementen in einer Menge A?

Roman-22

21:02 Uhr, 16.10.2015

>

Also Nr.

1,2,3,5,6

sind meine Äq-Relationen?
Ja

>

PS: Gibt es da einen einfachen Trick, wie man sofort weiß, wieviele Äq-Relationen man hat bei

x

Elementen in einer Menge A?
Ja, die Anzahl ist

2^{x} - x,

also bei dir

2^{3} - 3 = 8 - 3 = 5

R

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21:30 Uhr, 16.10.2015

Ahh, danke.

>> Kann ich da z.B. nicht auch R={(b,b),(c,c)} für eine Äq-Rel. schreiben?
>Ja, dieses R ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge A\{a}, aber keine auf der Menge A, so wie verlangt.

Dieses R wäre eine Äquivalenzrelation der Menge A\{a}, dass ist klar, weil hier das a ja in sozusagen in der Luft hängt, d.h. es werden nicht für a,b,c die 3 Bedinungen erfüllt.

Aber was für eine Relation wäre R={(b,b),(c,c)} auf die Menge A?

edit1: etwa reflexiv und symmetrisch?

Roman-22

21:48 Uhr, 16.10.2015

Nein, damit

R

auf A reflexiv wäre, müsste aRa gelten, also

(a, a) \in R

sein.
Deine Relation ist symmetrisch und transitiv, aber wegen dem fehlenden

(a, a)

auf A nicht reflexiv.

R

P . S

> d . h

. es werden nicht für

a, b, c

die 3 Bedinungen erfüllt.
du kannst Transitivität oder Symmetrie, aber auch Reflexivität nicht für Elemente von A "erfüllen". Das sind Eigenschaften der Relation

R,

nicht der Menge A oder ihrer Elemente.

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21:53 Uhr, 16.10.2015

Soll das nun heißen, dass R nur reflexiv werden kann, wenn (a,a), (b,b) und (c,c) in R sind?

Gibt es hier also keine reine Relation auf A die NUR reflexiv ist?

Roman-22

22:14 Uhr, 16.10.2015

>

Soll das nun heißen, dass

R

nur reflexiv werden kann, wenn

(a, a), (b, b)

und

(c, c) \in R

sind?
Ja!! Reflexiv heißt doch

\forall x \in A : (x, x) \in R

Und sobald die drei Pärchen drin sind, kann sie nicht nur reflexiv werden, sondern sie ist es damit bereits.

>

Gibt es hier also keine reine Relation auf A die NUR reflexiv ist?
Doch! Natürlich, gibts die! Sie enthält die drei Paare

(a, a), (b, b)

und

(c, c)

und dann musst du eben noch etwas dazu geben, sodass die ganze Mixtur danach weder symmetrisch noch transitiv ist.

R

Mr-Maths aktiv_icon

22:31 Uhr, 16.10.2015

>Ja!! Reflexiv heißt doch ∀x∈A:(x,x)∈R
Und sobald die drei Pärchen drin sind, kann sie nicht nur reflexiv werden, sondern sie ist es damit bereits.

Ahh, stimmt ja! Denn die Definition besagt ja FÜR ALLE x in A, wenn (x,x) in R, dann ist die Relation reflexiv und das FÜR ALLE deutet ja drauf hin, dass diese Relation nur reflexiv werden kann, wenn ALLE Pärchen, die dasselbe Element haben, also eben (x,x). Müsste so stimmen, richtig?

>Doch! Natürlich, gibts die! Sie enthält die drei Paare (a,a),(b,b) und (c,c) und dann musst du eben noch etwas dazu geben, sodass die ganze Mixtur danach weder symmetrisch noch transitiv ist.

1. Also, wenn ich (a,b) dazu gebe, dann ist sie reflexiv und transitiv, da ja hier ein (b,a) fehlt, um die Symmetrie gelten zu lassen.

2. Was brauche ich nun, um die Transitivität zu zerstören? Dann gebe ich noch ein (b,c) dazu, dann wärs NUR reflexiv, denn um die Transitivität gelten zu lassen, brauche ich auch ein (a,c) in R.

Beide Aussagen richtig?

Roman-22

22:43 Uhr, 16.10.2015

Ein Ja auf die erst und die dritte Frage. Die zweite hast du dir ja selbst beantwortet.

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23:21 Uhr, 16.10.2015

Sehr gut, danke.

Zurück zu den Äquivalenzklassen bitte:
>Dann besteht deine Relation aus den fünf Paaren (O,O),(K,K),(H,H),(K,H),(H,K) und zwei Ä.klassen, nämlich {O} und {H,K}.

Also gut das sind hier 5 Paare, die in der Äquivalenzrelation stehen. Und da wir gesagt haben, dass wir nach Geschlecht trennen gibt es auch 2 Klassen, eine wo nur die Ochsen drinnen sind und eine andere wo nur die Hühner und Kühe drinnen sind.
Und weil ich das so definiert habe, also "nach Geschlecht trennen", kann ich sagen
K~H, aber K not~ O und H not~ O. Und darauß erschießen sich nun die 2 Klassen, weil ich "definiert" habe. Kann man das so sagen?

Also haben meine 5 Äq-Relation jeweils nur EINE Klasse, da ja alles(a,b,c) ineinander "äquivalent", also transitiv, symmetrisch und reflexiv ist?

Roman-22

23:57 Uhr, 16.10.2015

>

Und darauß erschießen sich nun die 2 Klassen, weil ich "definiert" habe.
Nicht so martialisch! ;-) Die Ochsen schießen doch nicht auf die Hühner.
In jeder Ä.klasse liegen eben alle Elemente, die zueinander in Beziehung stehen. Und mit dem Ochsen steht eben außer er selbst niemand in Beziehung, daher bildet er eine eigen Ä.klasse.

>

Also haben meine 5 Äq-Relation jeweils nur EINE Klasse, da ja alles(a,b,c) ineinander "äquivalent", also transitiv, symmetrisch und reflexiv ist?

NEIIIIN! Zurück an den Start!
Du hast doch gerade mit deinen Viechereien ein Beispiel für eine Ä.relation geliefert, die zwei Ä.klassen hat. und zwei sind MEHR ALS EINE.

Sieh dir doch deine zweite Ä.relation

R = {(a, a), (b, b), (c, c)}

an. Mit wem steht denn

a

in Beziehung? Mit wem

b,

etc. Wieviel Ä.klassen gibt es denn hier.

Dein etwas eigenartige Formulierung, von wegen "alles ist ineinander äquivalent", trifft doch hier nicht zu - trift aber auf deine erste Relation

R = A \times A

zu.

R

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00:19 Uhr, 17.10.2015

1. R = AxA
2. R = {(a,a),(b,b),(c,c)}
3. R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a)}
4. R = {(a,a),(b,b),(c,c),(c,a),(a,c)}
5. R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}

Bei Nr.1 steht alles zu allem in Beziehung, d.h. es gibt eine Äq-Klasse mit a,b und c.

Bei Nr.2 steht nur a mit a, b mit b und c mit c in Beziehung, also haben wir 3
Äq-Klassen: 1x mit a, 1x mit b und 1x mit c

Bei Nr.3 haben wir zwei Äq-Klassen, da a in beziehung mit b steht und c in beziehung mit sich selbst -> Äq-Klassen: (a,b) und (c)

Bei Nr.4 haben wir zwei Äq-Klassen, da a in beziehung mit c steht und b in beziehung mit sich selbst -> Äq-Klassen: (a,c) und (b)

Bei Nr.5 haben wir zwei Äq-Klassen, da c in beziehung mit b steht und a in beziehung mit sich selbst -> Äq-Klassen: (c,b) und (a)

Roman-22

02:36 Uhr, 17.10.2015

Bravo, alles richtig!
Bis auf den formalen Lapsus, dass die Ä-Klassen Mengen sind. Also keine runden sondern geschwungene Klammern.

R

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09:17 Uhr, 17.10.2015

Sehr gut, danke dir!! Jetzt verstehe ich es.

Ich versuch es mal mit folgender Übung:
Untersuchen Sie, welche der folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind und geben Sie gegebenfalls die Äquivalenzklasse von (-3,2) an.

a) (a,b) ~ (c,d)

\leftrightarrow

|a|-|b| = |c|-|d| für

(a, b), (c, d) \in ℝ^{2}

Also (a,b) und (c,d) sind laut Definition nur pos. Zahlen. Und ich soll überprüfen, ob "(a,b) ~ (c,d)" so stimmt, denn das sagt ja aus, dass (a,b) "äquivalent" zu (c,d) ist, also symmetrisch, transitiv und reflexiv. Aufgabenstelung so weit richtig verstanden?

Ich bin der Meinung, dass es keine Äquivalentrelation ist, denn wenn ich für die obigen Rechnung einsetze: 2-3 = 5-4 --> das stimmt doch nicht, ist ja nicht Äquivalent. Oder gehe ich das falsche an? a,b,c und d dürfen doch unterschiedliche Werte haben, oder?

Also wenn z.B. steht 2-3 = 2-3, dann würds doch gelten, dass die Paare (a,b) und (c,d) "äquivalent" sind, oder?

edit: Oder muss ich das folgendermaßen angehen?
Reflexiv würde bedeuten: (a,b) ~ (a,b)

\leftrightarrow

|a| - |b| = |a| - |b|
Symmetrisch: (a,b) ~ (c,d)

\to

(c,d) ~ (a,b)

\leftrightarrow

|a|-|b| = |c|-|d|

\to

|c|-|d| = |a| - |b|

Bin ich so auf dem richtigen Weg? Zu transitiv fällt mir nichts ein, da ich ja ein f "generieren" müsste, dass ja hier gar nicht gegeben ist.

Allgemein: Sind also (a,b) und (c,d) Paar in einer Relation und ich soll mit der Bedingung "|a|-|b| = |c|-|d|" übeprüfen, ob sie auch wirklich in Relation(äquivalent sind) zu einander stehen? Aber würd das auch nicht gehen, wenn man in die Äquivalenzrelation

R \subseteq A x A

, auf die Menge A = {a,b,c,d}, reinschaut?
Haben wir eigentlich oben auch so gemacht beim ersten Beispiel.

Roman-22

13:46 Uhr, 17.10.2015

Du hast da einiges missverstanden.

Da steht nirgendwo etwas von nur positiven Zahlen.

ℝ^{2}

steht für die Produktmenge

R \times R

(a, b)

ist auch keine Zahl, sondern ein Zahlenpaar mit beliebigen Zahlen

a, b \in ℝ

.
Und deine Menge A ist auch nicht

{a, b, c, d}

sondern die Menge aller unendlich vielen Zahlenpaare

A = {(x, y) | x \in ℝ \land y \in ℝ}

.

Anstatt lang herumzuformulieren musst du rein formal aufschreiben, was die drei Eigenschaften hier bedeuten und dann versuchen, zu zeigen dass sie immer erfüllt sind oder zB ein Gegenbeispiel angeben.

Zur Verdeutlichung, wenn du deine Relation als Menge von Paaren aufschreiben wolltest, wären dort unendlich viele Paare von Zahlenpaaren enthalten.
Beispielsweise ist das Paar

((- 3,2; 5,3); (7,8; - 9,9))

in deiner Relation enthalten, weil einerseits

| - 3,2 | - | 5,3 | = 3,2 - 5,3 = - 2,1

und auch

| 7,8 | - | - 9,9 | = 7,8 - 9,9 = - 2,1

ist.
Die beiden Zahlenpaare stehen also in Relation, weil die Differenz der Beträge ihrer Komponenten gleich ist.

Unter "Oder muss ich das folgendermaßen angehen?" bist du tatsächlich auf dem richtigen Weg. Nur zeigt deine Verwirrung darüber, dass du ein "f" erzeugen müsstetst, "dass es nicht gibt", dass du noch nicht realisiert hast, dass

a, b, c, d

nur Platzhalter für beliebige reelle Zahlen sind.

Und um diesen Thread hier nicht zur endlosen Geschichte ausarten zu lassen, schlage ich vor, dass du ihn schließt und abhakst und für eine neue Aufgabe/Frage auch einen neuen Thread eröffnest.

R

Mr-Maths aktiv_icon

14:29 Uhr, 17.10.2015

Okay, danke für deine Hilfe. Ich werde nun einen neuen Thread eröffnen.

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