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Für welche x konvergiert die folgende Reihe?

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

desaster137 aktiv_icon

15:53 Uhr, 25.04.2017

Hallo Matheforum,

ich hätte eine Frage zu diesem Beispiel:

Für welche

x \in ℝ

konvergiert diese Reihe?

\sum_{t = 10}^{\infty} \frac{\sqrt{5 x^{t}}}{(2 x - 3)^{t}}

Habe das Summenzeichen so umgeformt:

\sqrt{5} * \sum_{t = 10}^{\infty} {(\frac{\sqrt{x}}{(2 x - 3)})}^{t}

Die Reihe konvergiert, wenn

∣ q ∣ < 1

ist.

Also:

∣ \frac{\sqrt{x}}{(2 x - 3)} ∣ < 1

. Dadurch dass das Argument der Wurzel immer

\geq 0

ist, kann ich auch hinschreiben:

\frac{\sqrt{x}}{∣ (2 x - 3) ∣} < 1

. Dann muss ich eine Fallunterscheidung machen:

1 . F a l l :

x \geq 0

und

x > \frac{3}{2} .

\sqrt{x} < (2 x - 3)

4 x^{2} - 13 x - 9 > 0

. Dann erhalte ich

L_{1} =] \frac{9}{4}; \infty [

2 . F a l l :

x \geq 0

und

x < \frac{3}{2} .

Dadurch dass hier der Nenner und das Argument des Betrags negativ ist, muss ich ja das Relationszeichen umdrehen oder?

Und das wäre meine Frage: Muss ich hier das Relationszeichen umdrehen trotz des Betrages oder nicht?

Ich danke euch jetzt schon für eure Antworten.

Mfg
desaster137

pwmeyer aktiv_icon

17:24 Uhr, 25.04.2017

Hallo,

im zweiten Fall gitl:

\frac{\sqrt{x}}{| 2 \cdot x - 3 |} < 1 \Leftrightarrow \sqrt{x} < | 2 \cdot x - 3 | = 3 - 2 \cdot x \Leftrightarrow ...

.

Gruß pwm

desaster137 aktiv_icon

17:46 Uhr, 25.04.2017

Im zweiten Fall schaue ich ja, ab welchem Wert der Betrag negativ ist. Also ist auch der Nenner Negativ. Doch wieso ändere ich hier nicht das Relationszeichen bei der Ungleichung?

ledum aktiv_icon

18:05 Uhr, 25.04.2017

Hallo
wie PW dir schrieb, weil du zuerst den Betrag hoch bringst. Aber auch wenn du im Nenner, für

2 x - 3 < 0 \in - 2 x + 3

änderst ist das ja positiv!
Gruß ledum

desaster137 aktiv_icon

22:46 Uhr, 25.04.2017

Müsste die zweite Ungleichung dann nicht lauten:

\sqrt{x} > (- 2 x + 3)

ledum aktiv_icon

23:00 Uhr, 25.04.2017

Ich und PW haben versucht dir das Gegenteil zu sagen! beides mal begründet. was ist daran so schwierig,
man kann auch einfach mal ein paar Zahlen zwischen 0 und

\frac{3}{2}

direkt ausprobieren, wenn man sooo unsicher ist!
die ursprüngliche Fl ist für

x = 0

erfüllt wie ists mit deiner ??
Gruß ledum

desaster137 aktiv_icon

15:37 Uhr, 26.04.2017

Also wenn nur ein Betrag im Nenner ist, dann ändert sich NIE das Relationszeichen?

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