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Funktion nach x auflösen, Menge skizzieren

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Auflösen, Definitionsintervall, skizzieren, umkehrabbildung

 
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CarlaColumna

CarlaColumna aktiv_icon

13:11 Uhr, 02.03.2015

Antworten
Hey, ich schreibe in paar Tagen meine Mathe 1 Klausur und bin so aufgeregt :( Ich habe vor allem bei dem im Anhang sich befindenden Aufgabentyp große Angst, weil wenn man dort den ersten Teil verhaut, dann ist der zweite unlösbar :(
(Für mich ist es schon schwer genug irgendetwas im zweiten Teil herauszubekommen.

Ich höre mal auf zu lamentieren und versuche so weit es geht die Aufgabe zu bearbeiten und hoffe und danke für eure Unterstützung!

Für welche x,y ist die Gleichung y=ln(x2+1)-ln(x2-1) sinnvoll?

Also ich betrachte den Fakt, dass die Wurzel sowie der ln nicht negativ werden dürfen. Also die Wurzel darf Null werden, der ln jedoch nicht

D.h. I. Fall x2+1>0 und II. Fall x2-1>0

1. Fall x2>-1 ist immer erfüllt, weil egal was ich einsetze x2 ist positiv und immer 0
2. Fall x2>1x>±1 es ist sinnvoll für

x\{-1<x<1} kann man das so schreiben?

Für y darf ich alles einsetzen? Oder hm ich bin mir da unsicher, wir dürfen keinen Taschenrechner benutzen.
Und ich kann mir nur schwer vorstellen wie die Funktionen verlaufen. Wie kann ich den die Zielmenge überprüfen?

Auflösen:
y=ln(x2+1)-ln(x2-1)

Logarithmusregeln: y=x2+1x2-1=(x2+1x2-1)12

Wenn ich jetzt quadriere erhalte ich
y2=x2+1x2-1

Aber irgendwie geht das nicht :( oder?

Und wie soll ich die Menge (x,y) skizzieren, für die die Gleichung erfüllt ist? Der Verlauf des ln(x) ist mir geläufig, aber jetzt ist eine Differenz da und. Ich meine der Bereich -1<x<1 auf der x-Achse ist schon mal die eine Seite der Medaille, nur wie bekomme ich den Wertebereich heraus... ich komme da nicht weiter :(

Der zweite Aufgabenteil überfordert mich leider :(

Carla

1111
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
anonymous

anonymous

13:20 Uhr, 02.03.2015

Antworten
Hallo
a)
Dein Definitionsbereich für x:
Ich würde sagen: FAST richtig.
Du schreibst: "{ -1<x<1 }"
Überleg dir mal, ob "<" oder nicht vielleicht doch "<="...


b)
Prinzipiell gut, deine Herangehensweise, nach x auflösen zu wollen.
Bei deiner Herleitung ist nur leider sehr rasch der Logarithmus verloren gegangen...

Antwort
rundblick

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13:25 Uhr, 02.03.2015

Antworten
.
na ja,..
nur soviel zum " ich w ü rde sagen "..
und vonwegen "FAST richtig "..

also

"
2. Fall x2>1................ <- ja

⇒ x>±1 ........................... <- NEIN !!!

"

.. kann es sein, dass du dir da irgendetwas gedacht hast?

versuch es nochmal:
aus x2>1... folgt ??

.
CarlaColumna

CarlaColumna aktiv_icon

13:50 Uhr, 02.03.2015

Antworten
Ups, ja da ist was verloren gegangen. Aber der ln(0) ist doch nicht definiert? Daher muss doch die Null ausgeschlossen sein, wenn die Wurzel 0 ergibt. Der Wertebereich des y=ln(x) ist ja ganz aber wie bestimme ich den meiner Funktion?

y=ln((x2+1x2-1)12)

y=12ln(x2+1x2-1)

2y=ln(x2+1x2-1)

e2y=x2+1x2-1

Aber nun :(?

x2>1 naja darf ich jetzt nicht die Wurzel ziehen? Man kann umformen zu:

x2-1>0

Aber aus x2>1 folgt doch einfach x>1 und x>-1?
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

13:58 Uhr, 02.03.2015

Antworten
"

Aber aus x2>1 folgt doch einfach x>1.... und x>−1? ....< immer noch : NEIN !
"

Beispiel :
für x=-12 ist x>-1 ..denn sicher findest du alleine heraus, dass -12>-1
so
dann ist x2=(-12)2=14.. und du kommst nun daher und sagst "einfach", dann ist x2>1

zweites Beispiel x=0>-1... ist dann x2=02>1?

usw..

also nochmal : denke bitte etwas mit .. und finde heraus:

aus x2>1.. kannst du folgern ....?


------------------------

und dazu: "Aber nun :(?"

du hast bis zu dieser Stelle jetzt richtig umgeformt

und "nun" solltest du einfach weiter machen auf dem Weg zum
"Auflösen nach x" , solange
bis du zB als nächste Etappe dies haben wirst
x2=e2y+1e2y-1


usw..
usw..
CarlaColumna

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14:32 Uhr, 02.03.2015

Antworten
x>1x<-1 so meinte ich das... sry

Bei der Auflösung nach x kann ich nicht weitermachen, weil der Browser den Inhalt nicht zeigt :(, daher weiß ich nicht was da angezeigt wird :(

Den Definitionsbereich habe ich doch richtig ermittelt? Wie bekomme ich aber den Wertebereich heraus?
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

14:48 Uhr, 02.03.2015

Antworten
"
x>1∧x<−1 so meinte ich das... sry
"

das sieht schon viel besser aus .. ist aber leider immer noch falsch


denn es gibt kein x das grösser 1 UND gleichzeitig kleiner -1 ist

Tipp: schau also nach, welches Zeichen richtig sein wird : statt < "und"


zusammengefasst:

deine gegebene Funktion ist NICHT DEFINIERT für alle x[-1,+1]

oder (positiver gesagt) .. formuliere selbst: der Definitiosbereich D ist ... ?



nebenbei:
für den nächsten Teil deiner Aufgabe sollst du dann nur den Teil von D betrachten ,
in dem die 2 enthalten ist ...

.
CarlaColumna

CarlaColumna aktiv_icon

15:00 Uhr, 02.03.2015

Antworten
Ja der Definitionsbereich D={x}\{xR|x[-1,+1]}, bevor man zu dem zweiten Teil übergeht es muss man noch die Menge skizzieren. Dazu braucht man ja noch die Wertemenge... wie bekomme ich diese heraus?

Und beim Auflösen weiß ich immer noch nicht ob da der Browser das nicht anzeigt...

Ja beim zweiten Teil muss man dann wohl den positiven Ast betrachten, dazu wäre die Skizze gut, dann könnte man über das größtmögliche Definitionsintervall reden und eine geeignete Zielmenge finden.

Daran hänge ich immer :(

Danke!

Carla

Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

15:34 Uhr, 02.03.2015

Antworten
"
.. den positiven Ast betrachten,"

was meinst du mit "positivem" Ast?
beide "Äste" liegen oberhalb der x-Achse (nebenbei: die x-Achse ist Asymptote)

für die Skizze:

die anderen beiden Asymptoten sind x=-1 und x=+1
die beiden "Äste" liegen symmetrisch zur y-Achse (warum wohl?)
der Streifen mit -1x1 ist "Niemandsland"
wenn du noch die Koordinaten irgendeines Kurvenpunktes ausrechnest
kannst du schnell schon eine brauchbare Skizze machen

ach ja:
der grösstmögliche Bereich, in dem die Funktion umkehrbar ist UND in dem x=2 liegt
ist x(+1;+)
in diesem Bereich ist die Kurve streng monoton fallend (für diesen Kurvenast)
deshalb bekommst du dort als Umkehrfunktion g(x)=+e2x+1e2x-1

CarlaColumna

CarlaColumna aktiv_icon

16:05 Uhr, 02.03.2015

Antworten
Ich weiß nicht wie die Funktion liegt, ich habe mir sie extra nicht geplottet, damit ich in der Klausur mir diesen Vorteil nicht ziehen kann. Ich habe wohl falsch angenommen, dass es einen positiven Ast gibt und einen negativen, darauf deutet ja das 2D hin. Also bei anderen Aufgaben dieses Typs hat es immer daraufhin gedeutet

beide "Äste" liegen oberhalb der x-Achse (nebenbei: die x-Achse ist Asymptote)

Wie kommt man darauf? Ich kenne den Wertebereich nicht :( bekannt ist mir nur der Verlauf und Definitionsbereich und Wertebereich von y=ln(x). Wie man jedoch den Wertebereich von der Differenz zweier Logarithmen findet, weiß ich nicht, daher kann ich mir ja gerade nicht vorstellen wie diese liegen

für die Skizze:

die anderen beiden Asymptoten sind x=−1 und x=+1
die beiden "Äste" liegen symmetrisch zur y-Achse (warum wohl?)

Ja aufgrund der beiden Asymptoten

der Streifen mit −1 x1 ist "Niemandsland"

Ja.

"wenn du noch die Koordinaten irgendeines Kurvenpunktes ausrechnest
kannst du schnell schon eine brauchbare Skizze machen"

Du meinst eine Wertetabelle erstellen? Ohne Taschenrechner?

ach ja:
der grösstmögliche Bereich, in dem die Funktion umkehrbar ist UND in dem x=2 liegt
ist x(+1;+)
in diesem Bereich ist die Kurve streng monoton fallend (für diesen Kurvenast)
deshalb bekommst du dort als Umkehrfunktion g(x)=e2x+1e2x-1

Ich weiß nicht wie man darauf kommt, dass die Funktion streng monoton fallend ist kann ich momentan nur vermuten, aufgrund der Asymptoten und den Rest kann ich leider nicht nachvollziehen so auf anhieb.

Es ist mir wirklich wichtig, dass ich den Weg dahin verstehe, bitte um Geduld :(

Danke!
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

16:37 Uhr, 02.03.2015

Antworten
hm...

du hattest doch schon mal ganz alleine dies gefunden:

2y=ln(x2+1x2-1)

so
... jetzt schau dir einfach mal die Bauteile an:

1)
q(x)=x2+1x2-1=1+2x2-1

für x>1 kommt 2x2-1 vom Himmel herunter also von + (nahe x=1) und wird
für zunehmende x-Werte (x+) immer kleiner (0) (da der Nenner +)

also gilt dann für q(x): fällt von + bis fast zur +1

2)
da nun bekannlich die ln-Funktion monoton ist
wird also ln(q(x)) monoton von + runter zu ln(1)=0 fallen

3)
also dein y ist für x>1 streng monoton fallend (von +0)

und damit hat es in diesem Bereich eine Umkehrfunktion g(x)

deren Gleichung bekommst du, wenn du e2x=y2+1y2-1=1+2y2-1
nach y=.. auflöst

..einfache Umformung , Ergebnis für g(x) siehe oben .

.

der Definitionsbereich von f(x) wird zum Wertebereich von g(x)
und
der Definitionsbereich von g(x) ist der Wertebereich von f(x)

,



CarlaColumna

CarlaColumna aktiv_icon

17:28 Uhr, 02.03.2015

Antworten
Ah beim Auflösen gibt es diesen "Bauerntrick" habe ich voll vergessen...

Sprich: 2y=ln(x2+1x2-1)

e2y=x2+1x2-1=x2+1-1+1x2-1 (Bauerntrick)

e2y=1+2x2-1

e2y-1=2x2-1

e2y-12=1x2-1

2e2y-1=x2-1

2e2y-1+1=x2

x=±2e2y-1+1

Da läuft der Hase..

Also vielen Dank für die ausführliche Erklärung es ist mir schon ein wenig klarer geworden. Ich versuche jedoch mal noch einige Dinge zu hinterfragen, zumal der Browser wieder nicht alles anzeigt (siehe Anhang) oder?

Es ist also nützlich sich die Funktion in Bruchteile zu zerlegen? Ich wie erkennt man denn deine Argumentation in Punkt 1)?
Woran machst du es aus, dass es von + (nahe x=1) und für zunehmende x-Werte (x+) immer kleiner (0) wird?

Da der Nenner + geht lautet das Argument? D.h. alles was im Nenner quadratischer Form oder kubischer Form ist nähert sich 0. Man könnte auch die Nullstellen untersuchen und wenn man keine findet dann schneidet es auch nicht die x-Achse? Ist das ein guter Punkt? Wie kann man das am Schnellsten bzw. am Logischsten herleiten (möglichst verständlich)

q(x) fällt von + runter bis fast zur +1

Blöde Frage aber woran erkenne ich denn genau dass es fällt und nicht steigt?

Punkt 2) ist klar.

3) habe ich noch nicht verinnerlicht :(

Danke für die Mühe und Geduld, ich bemühe mich wirklich aber ich bin leider nicht Mathebegabt :(
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

18:48 Uhr, 02.03.2015

Antworten

"
Da läuft der Hase.. "

denkste in Wirklichkeit flüchtet er vor dem Fehler in der vorhergehenden
letzten Zeile

x2=2e2y-1+1

war ja noch richtig - aber halt noch nicht fertig (bring das auf den Hauptnenner)

und dann kam der Schuss daneben - weg der Hase..

------------------

"
woran erkenne ich denn genau dass es fällt und nicht steigt?
Woran machst du es aus, dass es von +∞ (nahe x=1)
und für zunehmende x-Werte (x→+∞) immer kleiner (→0) wird?"

wir lesen von links nach rechts ..
entsprechend liest du das Bildchen : setz dich auf die Kurve und du
wirst sehen, dass es zu Begiin (ab x>1) rasant abwärts saust
es ist limx1+(1x2-1)=+.. und dann limx+(1x2-1)=0

(ganz nebenbei:
in der zweiten Hälfte von D (also wenn x<-1) geruht die Kurve wahrlich zu steigen,,,
aber das ist ja nicht weiter gefragt..)


CarlaColumna

CarlaColumna aktiv_icon

19:33 Uhr, 02.03.2015

Antworten
Wieso muss ich den Hauptnenner bilden und darf nicht direkt die Wurzel ziehen? Mh?

x2=1+2e2y-1=2+e2y-1e2y-1

x=±2+e2y-1e2y-1

Und wir betrachten nur den positiven Teil.

Also wenn ich ehrlich bin so ganz kristallisiert sich der Wertebereich mir noch nicht heraus :(

PS: Im Anhang das Bild. Es wird doch nicht alles angezeigt?

B1
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

19:50 Uhr, 02.03.2015

Antworten

."Wieso muss ich den Hauptnenner bilden und darf nicht direkt die Wurzel ziehen? Mh?"

du meine Güte hier ein Beispiel:

die Wurzel aus 9 plus 16 ist NICHT 3+4=7

9+169+16=3+4=7
gerüchteweise richtig sei
9+16=25=5

-----------

nebenbei: 2+e2x-1=?

Vorschlag: vielleicht solltest du dir mal eine schöpferische Pause gönnen

.
CarlaColumna

CarlaColumna aktiv_icon

20:45 Uhr, 02.03.2015

Antworten
2+e2x-1=? Hm was soll
mir das sagen:( ?

Nein keine Pause leider die Zeit vergeht zu schnell:(

PS: Wenn ich die Wurzel auf dem ganzen Term bezogen hätte in dem
Beitrag von vorhin, dann müsste ich ja im Prinzip nicht Erweitern.
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

01:07 Uhr, 03.03.2015

Antworten
Hallo
Wertebereich: erstmal x2+1x2-1)x2>1
für gro0e x spielt +1 oder -1 keine rolle also geht der Bruch gegen 1. der ln also gegen 0
2. für x inder Nähe von x2=1 wird der Nenner beliebig klein der Zähler etwa 2 also Bruch gegen damit ln(Bruch) gefen
der Bruch ist immer >2 im Def Bereich weil Zähler>Nenner
damit hast du den Wertebereich von 0 bis unendlich. da die fkt nur von x2 und x0 abhängt ist sie symmetrisch zur y-Achse
jetzt noch einen Wert abschätzen ;x=2ln(53)53<e also kleiner ln(53<1, da sieht man wie schnell die funktion runter geht und kann sie etwa skizzieren.
in der klausur musst du dir ansehen, was man direkt sieht, wie Verhalten für x gegen Verhalten für kleine x, Verhalten in der nähe der Definitionsgrenzen.
Bei komposition von funktionen erst die innere ansehen (hier der Bruch dann erst die äußere anwenden.
Gruss ledum
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

01:07 Uhr, 03.03.2015

Antworten
Hallo
Wertebereich: erstmal x2+1x2-1)x2>1
für gro0e x spielt +1 oder -1 keine rolle also geht der Bruch gegen 1. der ln also gegen 0
2. für x inder Nähe von x2=1 wird der Nenner beliebig klein der Zähler etwa 2 also Bruch gegen damit ln(Bruch) gefen
der Bruch ist immer >2 im Def Bereich weil Zähler>Nenner
damit hast du den Wertebereich von 0 bis unendlich. da die fkt nur von x2 und x0 abhängt ist sie symmetrisch zur y-Achse
jetzt noch einen Wert abschätzen ;x=2ln(53)53<e also kleiner ln(53<1, da sieht man wie schnell die funktion runter geht und kann sie etwa skizzieren.
in der klausur musst du dir ansehen, was man direkt sieht, wie Verhalten für x gegen Verhalten für kleine x, Verhalten in der nähe der Definitionsgrenzen.
Bei komposition von funktionen erst die innere ansehen (hier der Bruch dann erst die äußere anwenden.
Gruss ledum
CarlaColumna

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12:33 Uhr, 04.03.2015

Antworten
Aber ich kann ja meinen Wertebereich so ermitteln, dass ich ja bei

x=±2+e2y-1e2y-1

(Der Umkehrfunktion) den Definitionsbereich bestimme, der ja nichts anderes ist als der Wertebereich der Usprungsfunktion.

Der Nenner, also e2y-1 muss größer Null sein :-) ?
Antwort
Respon

Respon

12:43 Uhr, 04.03.2015

Antworten
e2y-1>0
e2y>1
2yln(e)>ln(1)
2y>0
y>0

CarlaColumna

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12:47 Uhr, 04.03.2015

Antworten
Genau :-) So geht das :-)

Super!

Danke!
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