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Gaußsche Elimination

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Tags: Gauss

idefix759 aktiv_icon

11:33 Uhr, 29.11.2008

Ich verstehe den Gauß einfach nicht!

Kann mir jemand sagen wie ich so etwas löse?

1)

a + b - c + d = 3

a - b - 3 c + d = - 1

- a + b + 4 c - d = 0

a + 2 b + c - d = 2

2)

2 b - c + d = 0

3 a - 2 b + c = 2

4 a - 2 c + 2 d = 3

a - 2 c + d = 1

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

xtraxtra aktiv_icon

12:32 Uhr, 29.11.2008

Ich mach jetzt mal nur das zweite Gleichungssystem, vlt kannst du dann ja das erste selber machen, weil das mit den Matrizen ist immer ganz schön viel schreibarbeit.

Bei der Gauß'schen Eliminierung versucht man doch die Ecken eine Matrix durch Zeilenumformungen auf Null zu bringen:

$(\begin{matrix} 0 & 2 & \begin{matrix} - 1 & \begin{matrix} 1 & | 0 \end{matrix} \end{matrix} \\ 3 & - 2 & \begin{matrix} 1 & \begin{matrix} 0 & | 2 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} - 2 \\ - 2 \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} & \begin{matrix} | 3 \\ | 1 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix})$

das ist die Matrix und Ziel ist es doch jetzt in einer Ecke Lauter Nuller zu bekommen.

Also du kannst als erstes mal Zeile 1 und Zeile 2 vertauschen, dann fällt es schon mal leichter weil, du dann schonmal eine Null mehr hast wenn du versuchen möchtest die Nullecke links unten hinzubekommen.

Dann mutliplizierst du Z1 mit 4, Z3 mit 3 und Z4 mit 12

=> $(\begin{matrix} 12 & - 8 & \begin{matrix} 8 & \begin{matrix} 0 & | 8 \end{matrix} \end{matrix} \\ 0 & 2 & \begin{matrix} - 1 & \begin{matrix} 1 & | 0 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 12 \\ 12 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} - 6 \\ - 24 \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} 6 \\ 12 \end{matrix} & \begin{matrix} | 9 \\ | 12 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix})$

Ok jetzt kannst du Z4-Z1 und Z3-Z1 rechnen:

$(\begin{matrix} 12 & - 8 & \begin{matrix} 8 & \begin{matrix} 0 & | 8 \end{matrix} \end{matrix} \\ 0 & 2 & \begin{matrix} - 1 & \begin{matrix} 1 & | 0 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} - 14 \\ - 32 \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} 6 \\ 12 \end{matrix} & \begin{matrix} | 1 \\ | 4 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix})$

da wo jetzt die -32 steht soll ja auch noch eine 0 hin, also muss man Z4-Z3 rechenen und es soll 0 rauskommen auf dieser Position. Deshalb Z3*16 und Z4*7 und dann Z4-Z3

=> $(\begin{matrix} 12 & - 8 & \begin{matrix} 8 & \begin{matrix} 0 & | 8 \end{matrix} \end{matrix} \\ 0 & 2 & \begin{matrix} - 1 & \begin{matrix} 1 & | 0 \end{matrix} \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} - 224 \\ 0 \end{matrix} & \begin{matrix} \begin{matrix} 96 \\ - 12 \end{matrix} & \begin{matrix} | 16 \\ | 12 \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix})$

Jetzt kann man dann die Gleichungen von unten nach oben lösen.

und entschuldigung wenn die Matrizen nicht ganz so schön sind, ich komm da mit dem Formeleditor nicht ganz so 100%-ig klar.

idefix759 aktiv_icon

12:41 Uhr, 29.11.2008

deine erklärung ist soweit verständlich, nur stimmen leider deine ergebnisse nicht mit der von der lösung überein.

A = \frac{2}{3} -

lamda/3

B = - \frac{1}{12}

-Lamda/3

C = - \frac{1}{6} +

lamda/3

D =

Lamda

xtraxtra aktiv_icon

12:47 Uhr, 29.11.2008

Hm, wo kommt denn bei dir das Lamba her?

Vllt hab ich auch was falsch gemacht, der Gauß ist bei mir schon etwas her, aber ich dachte das geht so.

idefix759 aktiv_icon

12:58 Uhr, 29.11.2008

von wo das lamda herkommt weiß ich selbst nicht so genau - wie gesagt ist die richtige Lösung, aber nicht meine!

aber von der Erklärung her kenn ich mich ein bisschen besser aus! Danke!

xtraxtra aktiv_icon

13:07 Uhr, 29.11.2008

Ich denke mal dann hab ich wohl beim Elimnieren eine Fehler gemacht.

Muss sich vllt nochmal jmd anders anschaun. Sorry

MBler07 aktiv_icon

13:07 Uhr, 29.11.2008

Hi

Die Ansätze von xtra sind nicht schlecht, dafür hat er aber ein paar Rechnungen vergessen.

Leider kann ich Matrizen nicht so schön schreiben. Sollten aber trotzdem lesbar sein:

IV*(-4)+III ; IV*(-3)+II

0 . . 2 . . - 1 . . 1 | 0

0 . . - 2 . . 7 . . - 3 | - 1

0 . . 0 . . 6 . . - 2 | - 1

1 . . 0 . . - 2 . . 1 | 1

I+II

0 . . 2 . . - 1 . . 1 | 0

0 . . 0 . . 6 . . - 2 | - 1

0 . . 0 . . 6 . . - 2 | - 1

1 . . 0 . . - 2 . . 1 | 1

II*(-1)+III

0 . . 2 . . - 1 . . 1 | 0

0 . . 0 . . 6 . . - 2 | - 1

0 . . 0 . . 0 . . 0 | 0

1 . . 0 . . - 2 . . 1 | 1

Zur besseren Übersicht verschiebe ich alle Zeilen um 1:

1 . . 0 . . - 2 . . 1 | 1

0 . . 2 . . - 1 . . 1 | 0

0 . . 0 . . 6 . . - 2 | - 1

0 . . 0 . . 0 . . 0 | 0

Aus IV:

d =

beliebig; setze

d = λ

Aus III:

c = - \frac{1}{6} + \frac{λ}{3}

Aus II:

b = \frac{- \frac{1}{6} + \frac{λ}{3}}{2} - \frac{λ}{2} = - \frac{1}{12} - \frac{λ}{3}

Aus I:

a = 2 (- \frac{1}{6} + \frac{λ}{3}) - λ = - \frac{1}{3} - \frac{λ}{3}

Natürlich gibt es noch andere Wege das zu lösen und man kann auch zwischendrin ordnen.
Falls noch Fragen sind, einfach melden.

idefix759 aktiv_icon

13:31 Uhr, 29.11.2008

Kannst du mir bitte auch lösen, damit ich den vorgang an einem anderen BSP auch noch sehe? Danke!

a + b - c + d = 3

a - b - 3 c + d = - 1

- a + b + 4 c - d = 0

a + 2 b + c - d = 2

idefix759 aktiv_icon

13:42 Uhr, 29.11.2008

wie kommst du bei

C

auf lamda/3?

xtraxtra aktiv_icon

13:59 Uhr, 29.11.2008

du musst für d immer lamda einsetzen.

dann hast du: $6 c - 2 λ = - 1 c = - \frac{1}{6} + \frac{λ}{3}$

MBler07 aktiv_icon

14:06 Uhr, 29.11.2008

Ich werde die andere Aufgabe nicht lösen. Denn Aufgaben nachvollziehen ist immer wesentlich einfacher als sie selber zu berechnen.
Aber wenn du deine Ansätze postest kann ich dir helfen zur Lösung zu kommen.

idefix759 aktiv_icon

15:40 Uhr, 29.11.2008

2 . . 1 . . - 1 . . 1 | 3

1 . - 1 . . - 3 . . 1 | 1

- 1.1 ... 4 . - 1 | 0

1 . . 2 ... 1 . - 1 | 2

- - - - - - - - - - - - - - -

- 1.1 ... 4 . - 1 | 0

0 . . 3 ... 7 . - 1 | 3

0 . . 0 ... 1 . . 0 | 1

0 . . 3 ... 5 . - 2 | 2

- - - - - - - - - - - - - - - - -

- 1.1 ... 4 . - 1 | 1

0 . . 3 ... 5 . - 2 | 2

0 . . 0 ... 2 . - 1 | 1

0 . . 0 ... 1 . . 0 | - 1

- - - - - - - - - - - - - - - - -

0 . . 0 . . 0 . . - 1 | 3

0 . . 0 . . 2 ... 0 | - 2

Soweit so gut, aber jetzt häng ich….

MBler07 aktiv_icon

17:47 Uhr, 29.11.2008

Du solltest aufschreiben, was du machst. Vorallem, wenn du Zeilen tauschst. Das ist dann wesentlich einfacher nachzuvollziehen.

In der ersten Zeile hast du in deiner letzten Antwort eine "2" als ersten Wert. In deiner Frage steht da aber eine "1". Und die Lösung der zweiten Zeile ist einmal

- 1

und dann 1. Was ist richtig?

In der dritten Matrix lautet die 3. Zeile

0 . . 0 . . 2 . . 1 | 1

(und nicht

- 1)

Danach kannst du einfach die dritte und vierte Spalte tauschen und hast Dreiecksform:

- 1 . . 1 . . - 1 . . 4 | 1

0 . . 3 . . - 2 . . 5 | 2

0 . . 0 . . 1 . . 2 | 1

0 . . 0 . . 0 . . 1 | - 1

Und daraus kannst du dann die Werte berechnen:
aus IV:

1 \cdot c = - 1 \to c = - 1

aus III:

1 \cdot d + 2 c = 1 \to d = 3

aus II:

3 b = 2 + 2 d - 5 c \to b = \frac{13}{3}

aus I:

- a = 1 - b + d - 4 c \to a = - \frac{11}{3}

Wobei ich wohl einen fehler übersehen oder mich verrechnet habe. Ich bekomme nämlich andere Ergebnisse.

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