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Gesetz der großen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Gesetz der Großen Zahlen, Zufallsvariablen

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15:58 Uhr, 18.12.2015

Hey, folgende Aufgabe bereitet mir etwas Probleme:

Es ist

{(X_{n})}_{n \geq 2}

eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen mit

P (X_{n} = n) = \frac{1}{n log n}

und

P (X_{n} = 0) = 1 - \frac{1}{n log n}

.

Nun soll ich zeigen, dass die Folge zwar das schwache, aber nicht das starke GGZ erfüllt.

Meine Idee:
Das schwache GGZ mit Chebyshev (und evtl Markov) zeigen, das starke GGZ mit Borel-Cantelli widerlegen.

Dafür:

S_{n} := \sum_{i = 2}^{n} X_{i}

E [X_{i}] = \frac{1}{log n}

Var

[X_{i}] = \frac{n}{log n} - \frac{1}{{(log n)}^{2}}

Nun:

\frac{1}{n} \sum_{i = 2}^{n} X_{i} - E [X_{i}] \leq (\frac{1}{n^{2} ε^{2}}) \sum_{i = 2}^{n}

Var

[X_{i}]

An dieser Stelle harkt es nun ein wenig. Vielleicht ist es auch sinnvoll, eine Indexverschiebung durchzuführen, aber da bin ich mir nicht sicher.
Wenn wir mir jemand weiterhelfen könnte, würde ich mich freuen.

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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