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Gewinn maximal

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Differentiation

Grenzwerte

Tags: Differentiation, Grenzwert

Bagatz aktiv_icon

19:24 Uhr, 25.02.2017

Moin Leute,

meine Frage kommt eigentlich aus dem Bereich VWL ist aber Mathematischer Natur;
ich freue mich sehr wenn ihr mir helfen könnt!

Ich möchte meinen Gewinn bei gegebener Kostenfuntkion maximieren.

K (x) = 2 y^{2}

Mein Gewinn ist also

π = P \cdot y - 2 y^{2}

Also mein Ertrag (Preis

\cdot

Menge) minus meine Kosten.
Will ich meinen Gewinn maximieren leite ich

π

ab und stelle es null.
Raus kommt:

y = \frac{1}{4} \cdot p

. Soweit alles gut! (Stimmt mit der Lösung überein)

Jetzt stelle ich folgende Überlegung an: Es handelt sich um einen Markt mit perfekter Konkurrenz woraus folgt:

π = 0!

Also:

0 = π = p \cdot y - 2 y^{2} \to p = 2 y \to y =

p/2(Durchschnittliche Fixkosten = Durschnittliche Kosten, daher dieses Ergebnis mit der Theorie, preis = durchschnittskosten, Konform)

Aber

y = \frac{p}{4}

ungleich

y =

p/2...?!?! Wtf

please Help

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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Wie bestimmt man die Ableitung

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ledum aktiv_icon

20:06 Uhr, 25.02.2017

Hallo
warum wundert es dich, dass der maximale Gewinn nicht 0 Ist? dann wäre er ja nicht maximal sondern im Bereich Gewinn>=0 sogar
minimal?
deine Funktion hat 2 Nullstellen, die bei

y = 0

hast du vergessen, und ein Maximum
warum ist in einem Markt mit perfekter Konkurrenz der Gewinn denn 0?
Gruß ledum

Roman-22

20:17 Uhr, 25.02.2017

Auch ich verstehe dein Erstaunen nicht.
Bei der ersten Rechnung bist du von einem konstanten, von der Stückzahl unabhängigen Preis ausgegangen und hast herausgekommen, dass dein Gewinn bei einer verkauften Stückzahl von

y = \frac{P}{4}

am größten ist. (Die 4 muss dabei offenbar die Einheit "Geld" oder "Geld pro Stück" haben?).

Bei deinem nächsten Beispiel gehst du aber von einen Preis aus, der nicht konstant ist, sondern von der Stückzahl anhängig ist. Für diesen Fall gilt doch deine erste Rechnung nicht mehr! Wenn du

π (y) = P (y) \cdot y - 2 y^{2}

ansetzt und die Rechnung wieder durchführst, stellt sich der maximale Gewinn bei

y = \frac{P (y)}{4 - P' (y)}

ein. Nur für einen konstanten Preis ist

P' (y) = 0

.
Für

P (y) = 2 y

gilt aber

P' (y) = 2

und somit

y = \frac{2 y}{4 - 2} = y

. Du hast somit die Aussage, dass der Gewinn für jede beliebige Stückzahl

y

"maximal" ist, was kein Wunder ist, da er ja für jede Stückzahl immer konstant 0 ist. Die Frage nach einem Gewinnmaximum ist ja auch ziemlich sinnlos bei einer Gewinnfunktion, die konstant 0 ist.

Bagatz aktiv_icon

12:09 Uhr, 26.02.2017

Hey, vielen Dank schonmal für eure Antworten!

@ledum :

- Ich möchte erklären warum der Maximale Gewinn gleich Null ist:
Die Theorie behauptet, dass auf einem "perfekten Markt" solange neue Anbieter auf den ..Markt eintreten, bis der gesamte Gewinn abgeschöpft ist.
Das funktioniert in dieser Form, weil neue Anbieter die Angebotene Menge erhöhen und ..damit den, durch den Markt regulierten Preis, runter drücken. Der Ertrag pro Einheit ..fällt also.

- y = 0

ist keine realistische Lösung, da der Markt damit zusammen gebrochen wäre

@Roman-22

Ich habe das Gefühl du bist auf der richtigen Spur!

Kannst du mir noch einmal erläutern warum ich bei der 2ten Rechnung von einem variablen

p

ausgehe?
Der Preis ist ja unter vollkommener Konkurrenz gegeben durch den Markt und zwar durch eine Funktion

p (y), z . b

p (y) = 4 y

.
In den mir geläufigen Rechnungen setze ich diese Funktion nachträglich in mein Ergebnis ein um einen möglichen Gewinn (Monopol Fall) oder eben Gewinn

= 0

(Polypol Fall) zu berechnen.
In dieser Rechnung möchte ich aber genau diese Angebotsfunktion

p (y)

berechnen, was muss ich tun damit ich nicht weiter von einem variablen Preis ausgehe aber trotzdem den Ansatz,

π = 0,

benutze?

Roman-22

14:06 Uhr, 26.02.2017

> -

Ich möchte erklären warum der Maximale Gewinn gleich Null ist:
Wenn du aber "perfekte Konkurrenz" so definierst, dass der Gewinn immer Null ist, ist das doch trivial und muss nicht weiter erklärt werden.

>

Kannst du mir noch einmal erläutern warum ich bei der 2ten Rechnung von einem variablen

p

ausgehe?
Wenn ich dich richtig verstanden haben, dann bedeutet "perfekte Konkurrenz", dass deine Gewinnfunktion, die du irritierenderweise

π

nennst, für jede Stückzahl

y

konstant Null ist.
Also soll

P \cdot y - 2 y^{2} = 0

sein für alle

y

. Daraus folgt, wie du ja selbst angegeben hast,

P = 2 y

. Damit ist

P

also nicht ein konstanter Wert, sondern er ändert sich, je nachdem, welche Stückzahl man hat, ist also eine Funktion von

y \to P (y) = 2 y

>

was muss ich tun damit ich nicht weiter von einem variablen Preis ausgehe aber trotzdem den Ansatz, π=0, benutze?
Diese Frage ist mir leider unverständlich und das mag damit zusammen hängen, dass ich mit der zugrundelegenden Thematik nichts am Hut habe.
Aber wenn dein

G e w i n n = P r e i s \cdot y - y^{2}

ist und du möchtest, dass dieser Gewinn immer Null ist, dann muss sich doch der Preis je nach dem Wert von

y

ändern, also variabel sein.

Dein Einleitungssatz war "Ich möchte meinen Gewinn bei gegebener Kostenfuntkion maximieren." und hast berechnet, bei welcher Stückzahl du unter Annahme eines konstanten Preises(!) den maximalen Gewinn erzielst.
Aber das kann sich dann ja wohl nicht auf die Situation, bei der der Gewinn immer konstant Null ist, beziehen.

Aber Gewinn konstant Null kann man auch bei festem Preis erreichen und zwar dann, wenn die Stückzahl fest bei

y = \frac{P}{2}

bleibt.
Eine andere Idee ist daher (nach dem, was du zu ledum geschrieben hast) wäre, dass, wenn wir nach wie vor von einem konstanten Preis ausgehen, die optimale Stückzahl, wie von dir berechnet,

\frac{P}{4}

ist. Jeder neue Mitbewerber wird aber, um auch mitschneiden zu können, weitere Stückzahlen produzieren und somit den Gewinn pro Stück für alle verringern. Das geht so lange, bis am gesamten Markt

\frac{P}{2}

Stück verfügbar sind und der Gewinn bei Null liegt. Jedes weitere Stück, das produziert wird, würde für alle einen Verlust pro verkaufter Einheit bedeuten, woraus man schließen kann, dass es niemand machen wird. In Wirklichkeit wird es wohl sehr wohl gemacht werden und ein neuer Mitbewerber wird anfangs auch aggressiv Preisdumping betreiben (dem Marktpreis also unterbieten) und bewusst Verluste einfahren, um seine Marktanteile zu erhöhen und der Konkurrenz Schaden zuzufügen (In der Hoffnung, man selbst habe den längeren Atem).
Diese Gier in mathematische Formeln zu gießen ist wohl die Kunst einer erfolgreichen Modellierung.

Bagatz aktiv_icon

18:38 Uhr, 26.02.2017

Nagut, belassen wir es hierbei.
Ich glaube du Recht und mir damit sehr geholfen.

Mein persönliches Resümee ist damit:

1. Es handelt sich um eine kurzfriste Angebotskurve bei der sehr wohl Gewinn erzielt werden kann, wobei ich mir dann von der Aufgabe bzw. von den Professoren mehr Genauigkeit gewünscht hätte.

2. Genau wie du gesagt hattest: Würde es sich um eine langfristige Angebotsfunktion handeln wäre der Ansatz mit

π = 0

der zielführende.

Vielen lieben Dank für eure/deine Zeit
und einen angenehmen Sonntag!

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