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Gleichung der Ebene

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

rasputin87 aktiv_icon

16:08 Uhr, 14.03.2013

Ich suche die Gleichung der Ebene, welche durch den Punkt

P = (1; - 1; 2)

und die Gerade

l

mit der Gleichung

x + 2 = y + 1 = \frac{z + 5}{2}

enthält.

Lösung ist

7 x - y - 3 z = 2

Wie gehe ich nun daran?

Mein Ansatz wäre erstmal die Geradengleichung aufzustellen:

r (t) = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ - 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Femat aktiv_icon

16:32 Uhr, 14.03.2013

Hi
Wenn ich mich recht erinnere, gibt es keine Koordinatengleichung für Geraden im Raum.
Stellt sich mir noch die Frage, wie du auf die Parameterform gekommen bist.
Und in der geg. Gleichung hats etwas verdächtig viele Gleichheitszeichen

Femat aktiv_icon

17:06 Uhr, 14.03.2013

Und aus der Parametergleichung (wenn sie dann stimmt) liessen sich mindestens 2 Punkte der Ebene bestimmen und einen Punkt haben wir schon.
Aus drei Punkten lässt sich eine Ebene bestimmen.
Ich hab mal für

t = 1

den Punkt

A (0; - 1; - 3)

für

t = 2

den Punkt

B (1; 0; - 1)

Strecken AB und AP bestimmt und mit Kreuzprodukt den Normalenvektor

(5; 3; - 1),

was mit den Koeffizienten der Lösung nicht übereinstimmt.

rasputin87 aktiv_icon

17:22 Uhr, 14.03.2013

Also die Geradengleichung ist richtig.
Daraus können wir nun die Ebenengleichung aufstellen

E . x = (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ - 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 - (- 2) \\ - 1 - (1) \\ 2 - (- 5) \end{matrix})

d . h

E . x = (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ - 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 7 \end{matrix})

dann berechnet man

n = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7 \\ - 1 \\ - 3 \end{matrix})

aus

n

kann man dann die Gleichung aufstellen:

7 x - y - 3 x = d

Jetzt noch

d

Berechnen:

d = (\begin{matrix} 7 \\ - 1 \\ - 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ - 5 \end{matrix}) = 2

\Rightarrow 7 x - y - 3 x = 2

Und Fertig!

Femat aktiv_icon

18:24 Uhr, 14.03.2013

Ich hab mal deine Geradengleichung in die Lösungsgleichung der Ebene eingesetzt.

7 (t - 1) - (t - 2) - 3 (2 t - 5) = 2

7 t - 7 - t + 2 - 6 t + 15 = 2

0 t + 10 = 2

10 = 2

5 = 1

Das beunruhigt mich ein wenig.
Da würd ich gern eine Zweitmeinung einholen

Capricorn-01 aktiv_icon

18:40 Uhr, 14.03.2013

Wenn die Geradengleichung in Parameterform richtig wäre, könnte man die Koordinaten des Stützvektors in die Form mit den 2 Ebenengleichungen (Schnittgerade) einsetzen:

x + 2 = y + 1

y + 1 = \frac{z + 5}{2}

- 1 + 2 \neq - 2 + 1 \to

das stimmt schon bei der 1. Ebenengleichung nicht.

rasputin87 aktiv_icon

18:48 Uhr, 14.03.2013

Aber ich komme mit meinem Weg auf das richtige Ergebnis

Capricorn-01 aktiv_icon

18:58 Uhr, 14.03.2013

Wie bist Du denn auf

(\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ - 5 \end{matrix})

in der Geradengleichung gekommen?
Oder hast Du evtl. bei der Abschrift der Aufgabe ein

x

und ein

y

vertauscht?

rasputin87 aktiv_icon

19:10 Uhr, 14.03.2013

Sche....
Ich habe in meinem ersten Post wirklich

X

und

Y

vertauscht, mein Fehler, sorry
danach jedoch, ist es richtig

Richtige Geradengleichung:

G : \vec{x} (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ - 5 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Femat aktiv_icon

19:33 Uhr, 14.03.2013

Lieber Rasputin, du hast mich schön ins Schwitzen gebracht.
Lieber Capricorn, dass das eigentlich 2 Gleichungen für Ebenen waren und die Gerade halt die Schnittgerade der 2 Ebenen ist.Danke für die Erleuchtung.
Ich hab jetzt diese zwei Ebenen bestimmt und mit dem Kreuzprodukt derer Normalenvektoren den Richtungsvektor der gesuchten Geraden bestimmt. Der stimmt mit der Lösung von Rasputin überein.Und der Stützvektor liegt sicher auch da.
Ich glaube fast, Rasputin hat den richtigen Tipp in einem Hellseherforum erhalten.
Zielstrebig waren wir alle.
Femat

rasputin87 aktiv_icon

19:40 Uhr, 14.03.2013

Ja vielen dank für eure Hilfe.
Ich habe mich einfach vertippt jedoch richtig gerechnet. Sorry mein Fehler!

rasputin87 aktiv_icon

19:40 Uhr, 14.03.2013

Ja vielen dank für eure Hilfe.
Ich habe mich einfach vertippt jedoch richtig gerechnet. Sorry mein Fehler!

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