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Wie löse ich diese Gleichung?

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17:42 Uhr, 10.03.2010

Hallo!

Steh bei einer Gleichung gerade voll auf der Leitung, und zwar:

5b³+10b²=300

komm nich drauf wie ich das löse!!!!

kann ja wohl nicht so schwer sein!

Wär euch sehr verbunden wenn ihr mir helfen könntet:-)

Danke:-)
Dominik

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

magix aktiv_icon

18:10 Uhr, 10.03.2010

5 x^{3} + 10 x^{2} - 300 = 0

Ist nicht soooo einfach zu lösen. Denn bei Gleichungen dritten Grades muss man entweder eine Nullstelle raten und dann Polynomivision machen oder mit den Cardanischen Formeln arbeiten.
Ich hab sie mal in ein Zeichenprogramm eingegeben und nur eine reelle Nullstelle, ungefähr bei

3,38

gefunden. Aber mit ungefähr kann man eben keine Polynomdivision machen.

Wolfram

α

liefert als Lösung ungefähr

3,34914

und noch zwei komplexe Lösungen.

OmegaPirat

19:48 Uhr, 10.03.2010

ein exakter lösungsweg sieht so aus:

als erstes dividierst du die gleichung durch 5

\Rightarrow

b^{3} + 2 b^{2} = 60

jetzt wählst du den ansatz

b = x + a

und setzt das in die gleichung ein=>

{(x + a)}^{3} + 2 {(x + a)}^{2} = 60

\Rightarrow

(x^3+3ax^2+3a^2x+a^3)+2x^2+4ax+2a^2=60

x^{3} + (3 a + 2) x^{2} + (3 a^{2} + 4 a) x + a^{3} + 2 a^{2} = 60

jetzt wählt man a so, dass der quadratische term rausfliegt
Also

(3 a + 2) = 0

\Rightarrow a = - \frac{2}{3}

\Rightarrow x^{3} - \frac{4}{3} \cdot x = \frac{1604}{27}

nun wählt man eine lösungsstruktur nach

x = A + B

und setzt das ein
(A^3+B^3+3A^2B+3AB^2)-4/3*(A+B)=1604/27

\Rightarrow

(A^3+B^3+(3AB-4/3)(A+B))=1604/27
Koeffizientenvergleich

\Rightarrow

AB=4/9

\Rightarrow B^{3} = \frac{64}{729 A^{3}}

A^{3} + B^{3} = \frac{1604}{27}

\Rightarrow A^{3} + \frac{64}{729 A^{3}} = \frac{1604}{27}

\Rightarrow A^{6} - \frac{1604}{27} A^{3} + \frac{64}{729} = 0

sei

z = A^{3}

\Rightarrow

z^{2} - \frac{1604}{27} z + \frac{64}{729} = 0

Jetzt musst du das noch nach

z

auflösen.
die dritte wurzel ziehen für A und dann alle werte für

B

bestimmen, dann die summe bilden

x = A + B,

es sollte bis zu drei möglichkeiten geben. und draus dann mit

b = x + a b

bestimmen, ich hoffe ich habe mich bis hierher nicht verrechnet.

scoef aktiv_icon

07:08 Uhr, 11.03.2010

Oh....danke:-)

is ja doch komplizierter als ich dachte!

Die Gleichung ist fürn Rechenbeispiel für eine Prüfung in Geotechnik, ich denke da hab ich mich wohl irgendwo verrechnet, so schwere Sachen kommen sicher nich:-D)

Trotzdem danke

Lg Dominik.

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