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Gradient?

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Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

 
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Skye89

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19:30 Uhr, 18.01.2017

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Hallo,

Die Aufgabe lautet:
"in welcher Richtung vom Punkt (2,1,-1) aus besitzt saß skalare Feld u(x,y,z)=x2yz3 sein größtes Wachstum?"

Liege ich richtig, wenn hier nach dem Gradient u gesucht wird?

Diesen finde ich durch Ableiten nach x:
2xyz3.
Durch einsetzen des g. Punktes komme ich auf -4.

Ist die Aufgabe damit (richtig) gelöst?

LG Skye

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

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19:32 Uhr, 18.01.2017

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"Ist die Aufgabe damit (richtig) gelöst? "

Überhaupt nicht. Zuerst mal ist Gradient keine Zahl, sondern ein Vektor.
Und zum anderen ist hier nicht nach Gradient gefragt, sondern nach Richtungsableitung.

Skye89

Skye89 aktiv_icon

19:49 Uhr, 18.01.2017

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Okay, danke! Den Gradient hab ich neu nachgeschlagen und meine Notizen verbessert.

Zweiter Versuch:
Ich leite x2yz3 in alle drei Richtungen ab und setze dann den Punkt ein. Die Richtung mit dem höchsten Betrag besitzt das größte Wachstum?

Das wäre dann die z-richtung mit "12".

Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

19:51 Uhr, 18.01.2017

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Nochmals: Du brauchst die Richtungsableitung. Suche die entsprechende Definition aus.
Bis jetzt hast Du nichts Passendes geschrieben.
Skye89

Skye89 aktiv_icon

20:15 Uhr, 18.01.2017

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Nächster Versuch... :
Also ich möchte, dass das Skalarprodukt von Grad u(2,1,-1) also (-4-112) und ein Vektor r den ich nicht kenne mit der Länge 1 maximal werden um das größte Wachstum angeben zu können?

-4r1-r2+12r3=?

Ich weiß, dass (r12+r22+r32)0,5=1
Aber nur damit kann ich doch nichts lösen..

Falls das richtig sein sollte:
Wie komme ich denn von hier aus weiter?


Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

20:23 Uhr, 18.01.2017

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Richtiger Gradient ist (-4,-4,12).
Also musst Du -4x-4y+12z unter der NB x2+y2+z2=1 maximieren.
Von hier kann man z.B. mit Lagrange weiterkommen.
Skye89

Skye89 aktiv_icon

20:46 Uhr, 18.01.2017

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Danke :-)

leider hat diese Aufgabe noch eine b. ich habe sie angefügt.

Wenn ein Vektorfeld wirbelfrei sein soll, muss die Rotation=0 sein. Ich habe damit folgendes raus:
(c-1)ex+(a-4)ey+(b-2)ez=0

Bedeutet dies, dass a=4,b=2,c=1?

Unbenannt
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

20:52 Uhr, 18.01.2017

Antworten
Ja, wenn Du Rotation richtig raus hast. Ich hab's nicht geprüft.
Frage beantwortet
Skye89

Skye89 aktiv_icon

20:53 Uhr, 18.01.2017

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Super, vielen herzlichen Dank für die große Hilfe!