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Gradient berechnen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Gradient

meierh23 aktiv_icon

12:36 Uhr, 20.10.2008

Hallo, ich stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch bei der Berechnung dieser Gradienten.

Ich weiß an sich, wie man Gradienten berechnet aber hier ist mir irgendwie die (Vektoren-)Schreibweise so fremd, dass ich nicht weiß, wie ich das machen soll.

Könnte mir bitte jemand einen Ansatz zu einer der Aufgaben geben, dann bekomme ich das mit Sicherheit alleine hin. Vielen Dank!

Hans

${{g r a d}_{\vec{w}} ‖ \vec{x} - \vec{w} ‖}^{2}$

${g r a d}_{\vec{w}} \frac{1}{1 + \exp (- β {\vec{w}}^{T} \vec{x})}$

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

15:24 Uhr, 20.10.2008

Hallo,

Der Gradient ist der Vektor, dessen Komponenten aus den einzelnen partiellen Ableitungen bestehen. Also hier :

g r a d_{w} = (\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial w_{1}} \\ \frac{\partial}{\partial w_{2}} \\ \frac{\partial}{\partial w_{2}} \end{array})

∥ \vec{x} - \vec{w} ∥^{2} = {(x_{1} - w_{1})}^{2} + {(x_{2} - w_{1})}^{2} + {(x_{3} - w_{1})}^{3}

Also ist

g r a d_{w} = (\begin{array}{c} - 2 (x_{1} - w_{1}) \\ - 2 (x_{2} - w_{2}) \\ - 2 (x_{3} - w_{3}) \end{array}) = - 2 (\vec{x} - \vec{w})

(irgendwie funktionieren die Vektorpfeilchen in der Vorschau nicht; hoffe, du weisst, was gemeint ist)

Die zweite Aufg. wird analog gelöst, nur dass hier die Ableitung ein bisschen komplizierter ist (Quotientenregel z.B.)

meierh23 aktiv_icon

17:39 Uhr, 21.10.2008

Super, danke dir!

quaid aktiv_icon

21:21 Uhr, 18.01.2009

Hi Leute!

Also ich beschäftige mich auch gerade mit dem Thema Gradienten. Was einen ungemein irritiert sind folgende Aussagen über Gradienten. (Zur Veranschaulichung betrachten wir einfach mal eine

3 D

Oberfläche)

1)

Der Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstieges

2)

Der Gradient steht senkrecht zur Oberfläche

Wenn ich mich also an einem Berg in Richtung des steilsten Anstiegs bewegen möchte muss ich senkrecht von der aktuellen Position hochspringen...? :-D)

Das macht doch keinen Sinn!

Nehmen wir mal die gute alte Oberfläche

x^{2} + y^{2} - z = 0

Totale Ableitung:

2 x + 2 y - 1 = 0

Ein Punkt auf dieser Oberfläche ist

(1,1,2)

. Der Anstieg da ist

(2,2, - 1)

. Das sollte doch auch der Gradient sein, oder? Wenn ja, was ist dann die Normale??

Ich will dass auch endlich mal schnallen.

Viele Grüße!

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