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Gradientenfeld

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Tags: Definitonsbereich, Niveaulinien, totale Differenzierbarkeit

Eleonora71 aktiv_icon

07:36 Uhr, 16.04.2017

Guten Morgen,

ich befasse mich mit einer Aufgabe wo ich nicht viel Übung und Erfahrung drin habe und das versalzt mir irgendwie den Morgen

: (

zu erledigen sind sogesehen drei Punkte:

1)

Definitionsbereich des Skalarfeldes

2)

Niveaulinien skizzieren und Gradientenfeldberechnung

3)

Gradientenfeld skizzieren und Tangentialebenenbestimmung

φ (x, y) := sinh (\frac{2 y}{x^{2} + 1 + y^{2}})

Der Definitionsbereich müsste

D = ℝ^{2}

sein. Da der

sinh

im 1dimensionalen

D o m a i n = R a n g e = ℝ

hat. Und ich nicht genau wüsste wie ich den Nenner im Argument unseres Skalarfeldes Null bekommen könnte.

Die Berechnung des Gradienten verstehe ich soweit und kann sie auch berechnen mit:

g r a d φ = (\begin{matrix} - 4 x y \cdot \frac{cosh (\frac{2 y}{x^{2} + 1 + y^{2}})}{{(x^{2} + 1 + y^{2})}^{2}} \\ \frac{2 \cdot (x^{2} - y^{2} + 1) \cdot cosh (\frac{2 y}{x^{2} + 1 + y^{2}})}{{(x^{2} + 1 + y^{2})}^{2}} \end{matrix})

Meine Probleme fangen jetzt damit an, dass ich nicht weiß wie ich ausgehend von dem

α

die Niveaulinien skizzieren soll? Bei dem Gradientenfeld hätte ich noch eine Idee, aber bei den Niveaulinien weiß ich gar nicht weiter

: (

Würde mich über Hilfe freuen,

frohe Ostern und Grüße

Elena

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

10:18 Uhr, 16.04.2017

Hallo,

zu den Niveaulinien:

φ (x, y) = α \Leftrightarrow sinh (...) = α \Leftrightarrow ... = {sinh}^{- 1} (α)

.
Weil

sinh

streng monoton wachsend ist, kann man

β = {sinh}^{- 1} (α)

setzen und

2 \cdot \frac{y}{x^{2} + y^{2} + 1} = β

untersuchen, nach Multiplikation mit dem Nenner und quadratischer Ergänzung bezüglich

y

sollte man erkennen, was vorliegt.

Gruß pwm

Eleonora71 aktiv_icon

11:36 Uhr, 22.04.2017

Moin,

also mir fehlt es irgendwie an Verständnis.

α = φ (x, y)

Somit erkenne ich, dass

α = sinh (\frac{2 y}{x^{2} + 1 + y^{2}})

Das weitere Vorgehen ist mir jedoch unklar. Quadratische Ergänzung und vorherige Multiplikation mit dem Nenner sind für mich Rechenschritte, jedoch ist mir das Ziel unklar wieso wir das machen?

Ich habe ein Fragment der Vorlesung hinzugefügt zur Bestimmung der Tangentialebene, da blicke ich nämlich auch nicht ganz durch. Normal sind ja Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren zur Beschreibung von Nöten. Hierbei erscheint eine Funktion

φ

in der dritten Komponente, vielleicht sieht da jemand den roten Faden was gemeint ist?

Ich bedanke mich,

Gruß

Elena

ledum aktiv_icon

15:48 Uhr, 22.04.2017

Hallo

z = f (x, y)

stellst du dir als Gebirge über der

x - y

Ebene vor, wobei

z

die Höhe ist.
um ein Gebirge in der Ebene darzustellen zeichnet man die Höhenlinien (die du vielleicht von Landkarten kennst,) das sind Linien gleicher Höhe also

f (x, y) = h

mit verschiedenen

h

für verschiedene Höhen.
Du hast also Kurven in der Ebene die durch

sinh (\frac{2 y}{x^{2} + y^{2} + 1}) = h

gegeben sind

h

verschiedene Werte (auch negative)

z . B, h = 1; sinh (\frac{2 y}{x^{2} + y^{2} + 1}) = 1

mit

sinh (1) = 1

also

\frac{2 y}{x^{2} + y^{2} + 1} = 1

und das solltest du als Kreis erkennen
(Vorsicht mit

h > 1)

andere Fragen zur Vorlesung bitte in ner neuen Frage.
Gruß ledum

Eleonora71 aktiv_icon

09:15 Uhr, 23.04.2017

Morgen zusammen,

also was eine Höhenlinie ist wurde mir durch ledum jetzt deutlich. Danke dafür. Was jetzt noch zu bearbeiten aussteht, ist die Niveaulinien bestimmen sowie für verschiedene Niveau's skizzieren, als auch das Gradientenfeld skizzieren und die Tangentialebene im gegebenen Punkt bestimmen.

@ ledum
Wieso ich die Vorlesungsunterlage hochgeladen habe, ist damit Ihr seht auf welche Art und Weise wir die Tangentialebene bestimmen sollen. (Es gibt ja mehrere Darstellungsformen)

So ich wollte jetzt erstmal mein Gradientenfeld präsentieren. (siehe Anhang)
Ist das Vorgehen soweit richtig? Da ich ein Gradientenfeld zum ersten Mal zeichne bin ich mir nicht ganz sicher. Habt Ihr da eventuell Tipps wie man da schnellstmöglich eins zeichnet, denn ohne Taschenrechner und begrenzter Zeit, ist es in der Klausur ziemlich zeitaufwendig viele Punkte zu berechnen.

Zu der Tangentialebene die ja die Form:

T E_{\vec{p}} (M) = {\vec{p} + k_{1} \partial_{1} \vec{ψ} (x, y) + k_{2} \partial_{2} \vec{ψ} (x, y) | k \in ℝ^{2}}

annehmen soll. Hätte ich doch dann gegeben durch:

T E_{\vec{p}} (M) = {k_{1} \cdot \frac{- 4 \cdot x \cdot y \cdot cosh (\frac{2 y}{x^{2} + 1 + y^{2}})}{{(x^{2} + 1 + y^{2})}^{2}} + k_{2} \frac{2 \cdot (x^{2} - y^{2} + 1) \cdot cosh (\frac{2 y}{x^{2} + 1 + y^{2}})}{{(x^{2} + 1 + y^{2})}^{2}} | k \in ℝ^{2}}

Unschlüssig ist mir noch wie bestimme ich denn die Höhenlinien explizit? Und wie zeichne ich diese?

Pwmeyer hat ja einfach aufgelöst und es mit einem

β = {sinh}^{- 1} (α)

angesetzt. Daraus ist mir jetzt aber unschlüssig ob das jetzt die Höhenlinien sind?

Vielen Dank für Eure Mühe,

Gruß

Elena

Roman-22

11:29 Uhr, 23.04.2017

>

Pwmeyer hat ja einfach aufgelöst und es mit einem β=sinh−1(α) angesetzt. Daraus ist mir jetzt aber unschlüssig ob das jetzt die Höhenlinien sind?
Ja, das sind sie.
Du bekommst Niveaulinien, indem du eben einen konstanten Funktionswert

α

für

φ (, x, y)

annimmst. Im Potenzialgebirge entspricht das den Höhenlinien/Äquipotenziallinien.

Und für

α = c o n s t

. ist natürlich auch

β := a r s i n h (α) = c o n s t

.

Du erhältst also

\frac{2 y}{x^{2} + 1 + y^{2}} = β

und das lässt sich umschreiben zu

x^{2} + {(y - \frac{1}{β})}^{2} = {(\frac{\sqrt{1 - β^{2}}}{β})}^{2}

und du solltest erkennen, um welche Kurve es sich dabei handelt ;-)

Eleonora71 aktiv_icon

08:09 Uhr, 24.04.2017

Moin zusammen,

ich habe noch nicht alles begriffen leider. Ich kann zwar nachvollziehen was eine Höhenlinie ist und mir vorstellen das bei

φ (x, y) = h

ich eine Ebene mit einer Höhe habe, wenn ich jedoch ausgehend davon diese für verschiedene Niveau's zeichnen soll, dann weiß ich nicht weiter.

Ich meine ich kenne die Formel, die einen Kreis oder Kegel beschreibt. Es geht aber doch darum die Formeln in meiner Funktion zu erkennen?

Weshalb aber taufen wir jetzt

β = \frac{2 y}{x^{2} + y^{2} + 1}

und machen daraus eine quadratische Ergänzung und lassen den

a r c s i n h (α)

weg? Ich meine im Nenner steht mit

x^{2} + y^{2}

etwas Kreisförmiges "drin".

Ich hatte vergessen den Anhang hinzuzufügen. Ich hoffe das mein Vorgehen beim Zeichnen eines Gradientenfeldes korrekt ist? Und ist meine Tangentialebene korrekt?

Ich danke Euch allen sehr,

Grüße

Elena

PS: Mein Vorgehen bei der Zeichnung eines Gradientenfeldes. Ich wähle einen Punkt

z . B

(1 | 0)

und setze ihn in den Gradienten ein und bekomme vom Punkt

(1 | 0)

einen Vektor zum Punkt

(0 | 1)

heraus? Irgendwie erscheint mir nämlich der Verlauf des Gradientenfeldes komisch.

Roman-22

08:33 Uhr, 24.04.2017

>

Weshalb aber taufen wir jetzt β=2yx2+y2+1
Nur der Bequemlichkeit halber. Du kannst gern anstelle

β

auch die ganze Zeit

a r s i n h (α)

schreiben und

α

ist dann eben die Höhe, in der du das Potenzialgebirge mit einer horizontalen Ebene schneidest.

>

und machen daraus eine quadratische Ergänzung
Damit du eben auch analytisch siehst, was du in meinen vorhin angehängten Plots optisch wohl schon gesehen hast - die Schichtenlinien sind simple Kreise.
Mittelpunkt dieser Konturlinien in der xy-Ebene ist jeweils

(0 / \frac{1}{β})

und Radius ist

\frac{\sqrt{1 - β^{2}}}{β}

. Daraus erkennt man auch, dass sich (reelle) Schichtenlinien nur für

| β | \leq 1,

bzw.

| a r s i n h (α) | \leq 1

oder eben

| α | \leq sinh 1 \approx 1,175

einstellen.
Sieht man auch an dem 3D-Plot, dass das "Gebirge" nicht höher als ca.

1.2

und nicht tiefer als etwa

- 1,2

ist.

>

und lassen den arcsinh(α) weg?
Das lassen wir nicht weg, das kürzen wir nur mit

β

ab - kannst du jederzeit wieder einsetzen.

>

Ich meine im Nenner steht mit

x 2 + y 2

etwas Kreisförmiges "drin".
Der Nenner allein bringts noch nicht. Du musst schon den kompletten Ausdruck betrachten.

Im Anhang das Gradientenfeld. Im ersten Bild links so skaliert, dass alle Repräsentanten die gleiche Länge haben, rechts unskaliert.
Im zweiten Bild sind noch zusätzlich einmal ein paar Isoklinen (hier: Hyperbeln) und rechts ein paar Niveaulinienen (hier: Kreise) eingezeichnet.

P . S . :

Du hast deine Pfeilchen falsch eingezeichnet! Wenn du für

(1 / 0)

richtig den Gradienten

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

rausbekommst, dann darfst du letzteres nicht mit einem Punkt verwechseln, zu dem du eine Linie zeichnest, sondern das ist ein Vektor, in dessen Richtung von

(1 / 0)

weg das Pfeilchen gezeichnet werden muss - hier also senkrecht nach oben.

Eleonora71 aktiv_icon

19:55 Uhr, 24.04.2017

Hallöchen,

ich hab jetzt nochmal alles versucht Stück für Stück durchzukauen. Folgende Punkte sind mir dabei ein Dorn im Auge:

1)

An der quadratischen Ergänzung bin ich gescheitert. Ich weiß nicht wie ich diese aus dem Term

\frac{2 y}{x^{2} + y^{2} + 1}

bilden soll? Üblich ist ja die Form

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0

2)

Wie zeichne ich aber jetzt die Höhenlinien für verschiedene Niveau's? Ich wähle verschiedene Niveau's/Höhen und dann

: (

3)

Stimmt die Tangentialebene in meinem Beitrag vom

23.04.179 : 15

Uhr?

Gradientenfeld. Stimmt. Das ist die Richtung die ich herausbekomme, wenn ich einen gegebenen Punkt in den Gradienten einsetze.

Vielen Dank mal wieder und vor allem für die Bilder,

Liebe Grüße,

Elena

Roman-22

00:02 Uhr, 25.04.2017

> 1)

An der quadratischen Ergänzung bin ich gescheitert. Ich weiß nicht wie ich diese aus dem Term 2yx2+y2+1 bilden soll? Üblich ist ja die Form a⋅x2+b⋅x+c=0
Du sollst nicht den Term umformen, sondern die Gleichung, die sich für

φ (x, y) = α = c o n s t

. ergibt.
Und damit kommen wir eben auf

\frac{2 y}{x^{2} + 1 + y^{2}} = a r s i n h (α)

und aus Bequemlichkeit kürzen wir das mit

β := a r s i n h (α)

\frac{2 y}{x^{2} + 1 + y^{2}} = β

ab. Jetzt umformen zu

\frac{2 y}{β} = x^{2} + 1 + y^{2}

x^{2} + y^{2} - 2 \cdot \frac{1}{β} \cdot y + 1 = 0

x^{2} + y^{2} - 2 \cdot \frac{1}{β} \cdot y + \frac{1}{β^{2}} - \frac{1}{β^{2}} + 1 = 0

{(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{β})}^{2} = \frac{1}{β^{2}} - 1

{(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{β})}^{2} = {(\frac{\sqrt{1 - β^{2}}}{β})}^{2}

Der Vergleich mit der allgemeinen Kreisgleichung

{(x - x_{M})}^{2} + {(y - y_{M})}^{2} = r^{2}

zeigt nur deutlich, dass es sich, wie oben schon geschrieben, um Kreise mit dem Mittelpunkt

M (0 | \frac{1}{β})

und dem Radius

r = \frac{\sqrt{1 - β^{2}}}{| β |}

handelt.

2)

Wie zeichne ich aber jetzt die Höhenlinien für verschiedene Niveau's? Ich wähle verschiedene Niveau's/Höhen und dann

: (

?
Na, wie gerade beschrieben.
Du wählst dir eine beliebige Höhe, zB

α = 0,7

.
Jetzt berechnest du

β = a r s i n h (α) = a r s i n h (0,7) \approx 0,6527

y_{M} = \frac{1}{β} \approx 1,5322

und

r = \frac{\sqrt{1 - β^{2}}}{| β |} \approx 1,1608

.
Also stichst du im ebenen xy-Koordinatensystem im Punkt

M (0 | 1,5322)

mit dem Zirkel ein und zeichnest einen Kreis mit Radius

1,1608

.
Das machst du nun mit ein paar anderen Werten für

α

(auch negative) ebenso.

Ganz beliebig darfst du

α

natürlich nicht wählen, denn für reelle Werte muss

| β | \leq 1

sein, also

| α | \leq sinh (1) \approx 1,1752

.
Und für

α = 0

ergibst sich die y-Achse, also ein "Kreis" mit unendlich großem Radius.

3)

Stimmt die Tangentialebene in meinem Beitrag vom

23.04.179 : 15

Uhr?
Nein. Zum einen hast du den Aufpunkt

P

(bzw. seinen Ortsvektor) verloren und dann muss es sich ja (siehe deinen Vorlesungsmitschrieb) um eine Vektorgleichung handeln.
Also die übliche Parameterdarstellung einer Ebene mit

\vec{r} = \vec{p} + k_{1} \vec{a_{1}} + k_{2} \vec{a_{2}}

k_{1}

und

k_{2}

sind jeweils aus

ℝ,

was dein

k \in ℝ^{2}

bedeuten soll, weiß ich nicht. Und nur jeweils eine Komponente von

\vec{a_{1}},

bzw.

\vec{a_{2}}

ist eine deiner beiden partiellen Ableitungen, eine weitere ist 0 die die dritte wird zu 1 normiert. Siehe deinen Aufschrieb.

Eleonora71 aktiv_icon

09:15 Uhr, 26.04.2017

Guten Morgen,

okay das ist schon schlau gemacht, wenn man sich das paar Tage lang anschaut und verinnerlicht.

Was mir noch Probleme bereitet ist:

Wieso ist der Mittelpunkt

M (0 | \frac{1}{β})

?

Ja die Parameterdarstellung einer Tangentialebene ist:

\vec{r} = \vec{p} + k_{1} \cdot {\vec{a}}_{1} + k_{2} \cdot {\vec{a}}_{2}

So unser Aufpunkt soll der Nullpunkt sein. Ach nein. Da habe ich mich verlesen.
Die Tangentialebene soll im Nullpunkt bestimmt werden.

Und wie bestimme ich jetzt den Aufpunkt?

Mit

(x, y, φ (x, y))

?

Das wäre dann

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ sinh (1) = 1,17 \end{matrix}) = \vec{p}

?

Dann fehlt mir noch der Rest:

k_{1} \cdot {\vec{a}}_{1} + k_{2} \cdot {\vec{a}}_{2}

>Und nur jeweils eine Komponente von a1→, bzw. a2→ ist eine deiner beiden partiellen Ableitungen, eine weitere ist 0 die die dritte wird zu 1 normiert. Siehe deinen Aufschrieb.<

Das habe ich jetzt nicht begriffen. Eine meiner Komponenten von

a_{1}

bzw.

a_{2}

ist eine meiner beiden partiellen Ableitung. Hm. Also leite ich nur nach

x,

bzw. nur nach

y

ab? Da verwirrt mich gerade die Aussage von dir bezogen auf die Formel des Aufschrieb's.

Da steht ja

\partial_{1}

und

\partial_{2}

. Irgendwie hänge ich da.

Großes Dankeschön,

Grüße

Elena

Roman-22

00:13 Uhr, 27.04.2017

>

Wieso ist der Mittelpunkt M(0|1β)?
Na, ihr hab dir doch vorhin die quadratisch ergänzte Form und die allgemeine Form einer Kreisgleichung direkt untereinander geschrieben.
Vergleiche doch einfach, was in deiner Gleichung

x_{M}, y_{M}

und

r

ist.

ad Tangentialebene:
Wenn der Nullpunkt nicht auf der Fläche liegen würde, wäre das ein wenig unangenehm, da wir von diesem Punkt aus die Tangentialebene(n) an die Fläche legen müssten.

Allerdings ist der Nullpunkt eh ein Flächenpunkt, denn

φ (0,0) = sinh (0) = 0

. Mit deinem

sinh (1)

hast du dich wohl geirrt.

Somit war es kein Fehler, den Aufpunkt nicht extra anzuführen, er liefert für die Gleichung ja keinen Beitrag.

Was die beiden Richtungvektoren, die ich allgemein

{\vec{a}}_{1}

und

{\vec{a}}_{2}

genannt hatte, anlangt, so stehen die doch deutlich ganz unten in deinem Aufschrieb.
Das sind jeweils die partiellen Ableitungen des Vektors

((x), (y), φ (x, y))

ausgewertet an der betreffenden Stelle, hier angenehmerweise

x = y = 0

.
Diese Vektoren sind also

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ φ_{x} (x, y) \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ φ_{y} (x, y) \end{matrix})

φ_{x}

und

φ_{y}

entnimmst du deinem bereits ermittelten Gradienten und setzt dann eben

x = y = 0

ein.
Du solltest dann die Vektoren

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

erhalten.
Die Linearkombinationen aus diesen beiden Vektoren beschreiben dann die Tangentialebene.
Also TE:

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + k_{1} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + k_{2} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

(der Nullvektor kann natürlich weggelassen werden).
Oder auch in Koordinatenform: TE:

2 y - z = 0

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