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Gram-Schmidt-komplex

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: Skalarprodukt

Jennifer87 aktiv_icon

23:35 Uhr, 01.05.2014

Hi,

Ich soll aus zwei Vektoren mittels Gram-Schmidt verfahren eine orthonormalbasis bestimmen

v_{1} = (\begin{array}{c} 1 \\ i \\ 0 \end{array})

und

v_{1} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 - i \end{array})

seien gegeben.

Ich verwende folgendes Skalarprodukt:

< (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}), (\begin{array}{c} d \\ e \\ f \end{array}) > = \overline{a} d + \overline{b} e + \overline{c} f

so nun zu meiner rechnung:

Ich mache erst mal aus den vektoren eine orthogonalbasis und will erst danach normieren:

u_{1} = v_{1}

u_{2} = v_{2} - \frac{< (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 - i \end{array}), (\begin{array}{c} 1 \\ i \\ 0 \end{array}) >}{< (\begin{array}{c} 1 \\ i \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{c} 1 \\ i \\ 0 \end{array}) >} (\begin{array}{c} 1 \\ i \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 - i \end{array}) - \frac{1 + 2 i}{2} (\begin{array}{c} 1 \\ i \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{2} - i \\ 3 - \frac{i}{2} \\ 1 - i \end{array})

nun mein Problem ist jetzt:

< (\begin{array}{c} 1 \\ i \\ 0 \end{array}), (\begin{array}{c} \frac{1}{2} - i \\ 3 - \frac{i}{2} \\ 1 - i \end{array}) > \neq 0

es müsste aber 0 rauskommen :(

hoffe ihr könnt mir helfen....

lg Jenny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

anonymous

00:09 Uhr, 02.05.2014

Im komplexen Fall musst du unbedingt auf die richtige Reihenfolge im Skalarprodukt achten. Das ist eine beliebte Fehlerquelle. Denn das Skalarprodukt ist hier nicht symmetrisch, sondern hermitesch:

〈 (\begin{matrix} 1 \\ i \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 - i \end{matrix}) 〉 = 1 - 2 i \neq 1 + 2 i = 〈 (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 - i \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ i \\ 0 \end{matrix}) 〉

Also NICHT:

u_{2} = v_{2} - \frac{〈 v_{2}, v_{1} 〉}{〈 v_{1}, v_{1} 〉} \cdot v_{1}

Sondern RICHTIG ist:

u_{2} = v_{2} - \frac{〈 v_{1}, v_{2} 〉}{〈 v_{1}, v_{1} 〉} \cdot v_{1}

u_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 - i \end{matrix}) - \frac{〈 (\begin{matrix} 1 \\ i \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 - i \end{matrix}) 〉}{〈 (\begin{matrix} 1 \\ i \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ i \\ 0 \end{matrix}) 〉} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ i \\ 0 \end{matrix})

u_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 - i \end{matrix}) - \frac{1 - 2 i}{2} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ i \\ 0 \end{matrix})

u_{2} = (\begin{matrix} \frac{1}{2} + i \\ 1 - \frac{i}{2} \\ 1 - i \end{matrix})

Jennifer87 aktiv_icon

17:43 Uhr, 02.05.2014

Danke :-)

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