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Graph einer Potenzfunktion interpretieren

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

Wie kann man am Funktionsgraphen erkennen, um welche Potenzfunktion es sich dabei handelt?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Potenzfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Symmetrie

Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen

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n = 2

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n = - 2

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f (x) = a \cdot x^{n},

dann ist es leicht von der Funktionsgleichung zum Graphen zu gelangen und dementsprechend umgekehrt auch.

Wir empfehlen deswegen sich zu erst den Weg von der Gleichung zum Graphen anzuschauen, den man hier nach lesen kann.

1.Schritt: Exponent $n$ negativ oder positiv?

Geht der Funktionsgraphen durch den Ursprung

(0 | 0),

dann handelt es sich um eine Parabel (nicht nur Normalparabel) und man kann sagen, dass der Exponent

n

der Potenzfunktion positiv ist.

Geht der Funktionsgraphen nicht durch den Ursprung

(0 | 0)

und besteht aus zwei "Ästen" die symmetrisch zu einander sind, dann kann man sagen, dass es sich um eine Hyperbel handelt. Der Exponent

n

ist negativ.

2.Schritt: Exponent gerade oder ungerade?

n

positiv

\Rightarrow

Ähnelt der Graph an einer Normalparabel, dann ist

n

gerade, ansonsten ist

n

ungerade.

n

negativ

\Rightarrow

Sind die Ästen symmetrisch zur y-Achse, dann ist

n

gerade, sind die Ästen symmetrisch zum Ursprung, dann ist

n

ungerade

3.Schritt: Parameter a positiv oder negativ?

Ähnelt der Graph einer Normalparabel, dann ist a postiv wenn die Parable nach oben gekrümmt ist und negativ wenn sie nach unten gekrümmt ist.

Ist

n

positiv und ungerade und der Graph verläuft von minus Unendlich nach plus Unendlich (vom III. Quadranten zum I. Quadranten), dann ist a positiv. Verläuft der Graph umgekehrt von plus Unendlich nach minus Unendlich (vom II. Quadranten zum IV. Quadranten), dann ist a negativ.

Ist

n

negativ und gerade und der Graph nimmt nur positive Werte

(I

. und II. Quadrant), dann ist a positiv. Nimmt der Graph nur negative Werte an (III. und IV. Quadrant), dann ist a negativ.

Ist

n

negativ und ungerade und der Grah im I. und III. Quadranten liegt, dann ist a positiv. Liegt er im II. und IV. Quadranten, dann ist a negativ.

Größe des Exponenten $n$ und Parameters a

Ist das Koordinatensystem nicht beschriftet, dann kann man über die Größe des Exponenten

n

und des Parameters a keine Aussage treffen.

Beispiele:

Man betrachte folgenden Graphen:

bild_1

Der Graph geht durch den Ursprung

\Rightarrow n

ist positiv
Der Graph ähnelt einer Normalparabel

\Rightarrow n

ist gerade
Der Graph nimmt nur positive Werte an

\Rightarrow a

ist positiv
Der Graph geht durch den Punkt

(1 | 2) \Rightarrow f (1) = a \cdot 1^{n} = a = 2

\Rightarrow f (x) = 2 \cdot x^{n}

mit

n = 2,4,6, . .

.

Man betrachte folgenden Graphen:

bild_2

Der Graph geht durch den Ursprung

\Rightarrow n

ist positiv
Der Graph ähnelt keiner Normalparabel

\Rightarrow n

ist ungerade
Der Graph geht von plus Unendlich nach minus Unendlich

\Rightarrow a

ist negativ
Der Graph geht durch den Punkt

(1 | - 3) \Rightarrow f (1) = a \cdot 1^{n} = a = - 3

\Rightarrow f (x) = - 3 \cdot x^{n}

mit

n = 3,5,7, . .

.

Man betrachte folgenden Graphen:

bild_3

Der Graph geht nicht durch den Ursprung und hat 2 Äste

\Rightarrow n

ist negativ
Die Äste sind symmetrisch zur y-Achse

\Rightarrow n

ist gerade
Der Graph nimmt nur negative Werte an

\Rightarrow a

ist negativ
Der Graph geht durch den Punkt

(1 | - 4) \Rightarrow f (1) = a \cdot \frac{1}{1^{n}} = a = - 4

\Rightarrow f (x) = - 4 \cdot x^{n}

mit

n = - 2, - 4, - 6, . .

.

Man betrachte folgenden Graphen:

bild_4

Der Graph geht nicht durch den Ursprung und hat 2 Äste

\Rightarrow n

ist negativ
Die Äste sind symmetrisch zum Ursprung

\Rightarrow n

ist ungerade
Der Graph liegt im I. und III. Quadranten

\Rightarrow a

ist positiv
Der Graph geht durch den Punkt

(1 | 1) \Rightarrow f (1) = a \cdot \frac{1}{1^{n}} = a = 1

\Rightarrow f (x) = x^{n}

mit

n = - 3, - 5, - 7, . .

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