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Grenzwert

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Grenzwerte

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23:08 Uhr, 31.01.2015

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Hallo zusammen

Ich müsste folgenden Grenzwert berechnen. Kriege das aber mit l´hopital nicht hin. Kann mir jemand einen Trick geben?

lim_{x \to \infty} \frac{x^{x * l n (x)^{2}}}{e^{x^{2}}}

Gruss
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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
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e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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f' (x)

f (x)

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Bummerang

23:29 Uhr, 31.01.2015

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Hallo,

bedenke:

x = e^{ln (x)}

{(e^{(...)})}^{(...)} = e^{((...) \cdot (...))}

\frac{e^{(...)}}{e^{(...)}} = e^{((...) - (...))}

und

lim e^{((...) - (...))} = e^{(lim ((...) - (...)))}

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11:38 Uhr, 01.02.2015

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So weit kam ich auch schon:

e^{lim_{x \to \infty} x * \ln (x)^{3} - x^{2}}

dieser exponent muss nun

- \infty

sein. wie zeige ich das nun?

Antwort

Mathe45

12:22 Uhr, 01.02.2015

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Wenn du die unbestimmte Form

\infty - \infty

für l'hospital umformen willst:

a - b = \frac{\frac{1}{b} - \frac{1}{a}}{\frac{1}{a \cdot b}} \Rightarrow

unbestimmte Form

\frac{0}{0}

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13:31 Uhr, 01.02.2015

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ok, mit der vorgeschlagenen regel von l´hospital gibt es dann also nach einmal ableiten:

\frac{x^{2} * l n (x) + 3 * x^{2} - 2 * x * l n (x)^{4}}{- 3 * l n (x) - 3}

\frac{x^{2} + \frac{3 * x^{2}}{l n (x)} - 2 * x * l n (x)^{3}}{- 3 - \frac{3}{l n (x)}}

dann

x^{2}

ausklammern:

x^{2} * (\frac{1 + \frac{3}{l n (x)} - \frac{2 * l n (x)^{3}}{x}}{- 3 - \frac{3}{l n (x)}})

und der limes davon mit

x \to \infty

:

lim_{x \to \infty} x^{2} * \frac{1 + 0 + 0}{- 3 - 0} = - \infty

stimmt das so??? sieht jemand noch eine Abkürzung?

Antwort

Mathe45

13:54 Uhr, 01.02.2015

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Versuchs einmal so:

x \cdot {(ln (x))}^{3} - x^{2} = x^{2} \cdot (\frac{{(ln (x))}^{3}}{x} - 1)

Jetzt müsste gelten

lim_{x \to \infty} \frac{{(ln (x))}^{3}}{x} = 0

( was anschaulich klar ist, weil der

ln

sehr langsam wächst )
Hier läßt sich l'hospital einfacher anwenden:
Kurzform ( jeweils Zähler und Nenner differenzieren ).

\frac{{ln}^{3} (x)}{x} \to \frac{3 \cdot {ln}^{2} (x) \cdot \frac{1}{x}}{1} = \frac{3 \cdot {ln}^{2} (x)}{x} \to \frac{6 \cdot ln (x) \cdot \frac{1}{x}}{1} = \frac{6 \cdot ln (x)}{x} \to \frac{6 \cdot \frac{1}{x}}{1} = \frac{6}{x}

für

x \to \infty

geht das gegen 0

q . e . d

.

Frage beantwortet

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14:13 Uhr, 01.02.2015

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Dachte mir doch, es geht auch einfacher. Die l´hospital regel für die

\infty - \infty

Fälle ist aber auch eine elegante Idee. Vielen Dank für die Unterstützung.

Gruss
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