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Grenzwert Folge , mit Bruch erweitern

Universität / Fachhochschule

Tags: Folgen, Grenzwert

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tbznn

tbznn aktiv_icon

14:51 Uhr, 10.10.2012

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Hi,
Ich soll die Folge:

n \cdot (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} - 1)

mit einem Bruch erweitern, so dass im Zähler die Wurzeln wegfallen

Ich würde folgendermaßen vorgehen:

= \frac{n (\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1)}{(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1)} \cdot \frac{(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} - 1)}{1}

= \frac{n (1 + \frac{1}{n^{2}} - 1)}{(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1)}

usw?

Kann man den Anfang so machen?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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Antwort

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

15:02 Uhr, 10.10.2012

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Nach der Erweiterung muss es heißen:

\frac{n \cdot (1 + \frac{1}{n} - 1)}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}

mfG

Atlantik

Frage beantwortet

tbznn

tbznn aktiv_icon

15:15 Uhr, 10.10.2012

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Stimmt du hast Recht.
Danke

tbznn

tbznn aktiv_icon

15:27 Uhr, 10.10.2012

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Noch mal eine Rückfrage:

Wenn ich das jetzt weiter ausreche, durch

n

teile, bekomme ich einen Grenzwert von 0 raus. Im Zähler läuft es nach 0 und im Nenner nach 1
Laut Wolfram müsste

\frac{1}{2}

rauskommen?

Antwort

Edddi

Edddi aktiv_icon

15:31 Uhr, 10.10.2012

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\frac{n \cdot (1 + \frac{1}{n} - 1)}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}

= \frac{n \cdot (\frac{1}{n})}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}

= \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}

somit ist dann:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2}

;-)

Antwort

Edddi

Edddi aktiv_icon

15:31 Uhr, 10.10.2012

Antworten

\frac{n \cdot (1 + \frac{1}{n} - 1)}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}

= \frac{n \cdot (\frac{1}{n})}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}

= \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}

somit ist dann:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2}

;-)

tbznn

tbznn aktiv_icon

16:44 Uhr, 10.10.2012

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Danke, so gehts natürich :-)

noch kurz eine andere Frage:

n (\frac{1}{\sqrt{n + 1}} - \frac{1}{\sqrt{n}})

durch was könnte man dort geschickt erweitern?

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