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Grenzwert Funktionsschar bestimmen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Stetigkeit

Tags: Grenzwert, Stetigkeit

erstii

19:50 Uhr, 20.06.2017

Hallo,

die folgende Aufgabe ist gegeben.

Für

n \in ℕ

definieren wir die stetige Abbildung

g_{n} : ℝ \to ℝ, x \to \frac{n \cdot x}{1 + | n \cdot x |}

i)

Bestimmen Sie alle

x \in ℝ,

für welche der Grenzwert

g (x) := lim_{n \to \infty} g_{n} (x)

existiert.

Ich weiß nicht so richtig was ich in der Aufgabe zeigen soll. Was mich am meisten stört ist, dass der Grenzwert hier über eine "Funktionenschar" definiert ist und ich nicht weiß wie ich damit umgehen soll.

Soll ich zeigen, dass

g (x) = - 1

für

x < 0

und

g (x) = 1

für

x > 0

gilt für

n \to \infty,

oder was genau wird von mir in der Aufgabe verlangt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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rundblick aktiv_icon

20:39 Uhr, 20.06.2017

.
") Bestimmen Sie alle x∈ℝ, für welche der Grenzwert

...

. existiert."

\to

für fast alle

x \in R

(nur NICHT für

x = 0)

existiert der Grenzwert

g (x) = \frac{x}{| x |}

(an der Stelle

x = 0

ist

g (x)

nicht definiert

. . (

unstetig mit endlicher Sprungstelle)

und damit

\to

"Soll ich zeigen, dass

g (x) = - 1

für

x < 0

und

g (x) = 1

für

x > 0

gilt für n→∞,"

hast du sogar die (im Aufgabentext nicht verlangten) Grenzwerte richtig notiert.

und dazu:
"Was mich am meisten stört ist, dass der Grenzwert hier über eine "Funktionenschar"
definiert ist und ich nicht weiß wie ich damit umgehen soll."

es ist leicht umgekehrt:
für jedes endliche

n \in N

hast du mit

g_{n} (x)

eine jeweils für alle

x \in R

definierte
Funktion für deren Graph die Gerade

y = - 1

Asymptote ist für

x \to - \infty

und für

x \to + \infty

ist die Gerade

y = + 1

Asymptote ..

und für

x = 0

gehen alle diese Kurven (mehr oder weniger steil) durch den Nullpunkt.
.. und je grösser nun

n

ist, umso schneller nähert sich die entsprechende Kurve
(dieser Schar

g_{n} (x))

den Asymptoten ..

ok?
.

.

erstii

21:24 Uhr, 20.06.2017

Alles klar, danke für die Hilfe.

anonymous

23:10 Uhr, 20.06.2017

Hmm, also ich ahne dass wir das gleiche meinen. Dennoch - weil ich gewisse Formulierungen missverständlich angehaucht finde - gestattet, dass ich in meine Worte fasse.

Für

x = 0

ist der Funktionswert

g_{n} (x)

eindeutig.

g_{n} (0) = 0

Folglich ist auch der Grenzwert eindeutig und existent:

lim_{n \to \infty} g_{n} (0) = 0

Für

x > 0

bin ich einverstanden:

lim_{n \to \infty} g_{n} (x) = 1

Für

x < 0

bin ich auch einverstanden:

lim_{n \to \infty} g_{n} (x) = - 1

D . h

. es existiert für beliebige

x

ein Grenzwert, ohne Einschränkung.

erstii

00:53 Uhr, 23.06.2017

Würde der Grenzwert 0 an der Stelle

x = 0

existieren, dann müsste für jede Folge

{(x_{n})}_{n}

aus

ℝ \ {0}

mit

lim_{n \to \infty} x_{n} = 0

gelten, dass

lim_{n \to \infty} g_{n} (x_{n}) = 0

ist.

Allerdings ist

\frac{n \cdot x_{n}}{1 + | n \cdot x_{n} |} = \frac{x_{n}}{\frac{1}{n} + | x_{n} |}

für

n \to \infty

nicht definiert.

Falls ich falsch liege, bitte ich um Korrektur.

ledum aktiv_icon

01:13 Uhr, 23.06.2017

nein
für

x = 0

hast du immer

\frac{0}{1}

also

g_{n} (0) = 0

für alle

n

was du gezeigt hast mit deiner Überlegung ist, dass die Grenzfunktion bei

x = 0

nicht stetig ist,
Gruß ledum

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