Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Großes Problem mit komplexer Gleichung mit Brüchen

Großes Problem mit komplexer Gleichung mit Brüchen

Schüler Berufsfachschulen,

Tags: Algebra, Bruch, Gleichungen, gut, praktisch, Quadratisch

MatheMalte aktiv_icon

18:02 Uhr, 23.05.2013

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich D und die Lösungsmenge L der folgenden Gleichung.

\frac{x}{x ² - 16} + \frac{1}{x - 4} = \frac{x ² - 7 x + 10}{(x - 2) (x ² - 16)}

b) Bestimmen Sie den Definitionsbereich D und die Lösungsmenge L nachstehender Gleichung. Beschreiben Sie die Bedingungen, die außerdem gelten müssen, damit die Nenner der Gleichung nicht NULL werden und damit bei den Äquivalenzumformungen nicht durch null dividiert wird.

\frac{a}{a - x} + \frac{7 a}{a + x} = \frac{4}{5}

Ich bin auf die Lösung x = 1,5 gekommen. Denke aber das ist falsch.

Bitte Lösungsweg detailliert angeben!

Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Tine1 aktiv_icon

19:00 Uhr, 23.05.2013

Moin, Malte!

Ich kann das jetzt nicht ganz für dich ausrechnen.
Aber ich nehme an, ein paar Hinweise werden dir den Weg zur Lösung ebnen. Letztlich bist du gefordert, und du sollst kompetent für die spätere Prüfung sein.

Die Lösung ist aber nicht schwierig, nur etwas rechenaufwändig.

Linke Seite der Gleichung ist eine Summe von Brüchen. Und du weißt sicher, dass Brüche nur addiert werden können, wenn sie den selben Nenner haben.
Und der lautet hier

: x^{2} - 16

. Das ist nämlich

(3

. binomische Formel) das Produkt aus

(x + 4) \cdot (x - 4)

.
Also musst du nur den 2. Bruch mit

(x + 4)

erweitern.

Es ergibt sich

\frac{x}{x^{2} - 16} + \frac{x + 4}{x^{2} - 16} = ...

.

Und nun die Gleichung zuerst mit

(x^{2} - 16)

multiplizieren ergibt

x + x + 4 = \frac{x^{2} - 7 \cdot x + 10}{x - 2}

Und jetzt noch mit

(x - 2)

multiplizieren ergibt

(2 x + 4) \cdot (x - 2) = x^{2} - 7 \cdot x + 10

Wenn du jetzt die Klammern ausmultiplizierst, alles sortierst und die quadratische Gleichung löst, dann hast die die Lösungsmenge unter Vorbehalt des Definitionsbereichs.

Und der ist einfach zu bestimmen, denn die Nenner der Ausgangsgleichung dürfen nicht null werden.
Aus

(x^{2} - 16) = 0

ergibt sich nach Lösung, dass

x

weder

+ 4

noch

- 4

sein darf.
Und wegen

(x - 2)

darf

x

auch nicht

+ 2

sein.

So, Malte, jetzt möchte ich zu Abend essen. Ich hoffe, dir ist geholfen.
Falls nicht, dann melde dich einfach.

Femat aktiv_icon

19:15 Uhr, 23.05.2013

Hi
Es geht sogar ohne quadratische Gleichung lösen, wenn man erkennt, dass

x^{2} - 7 x + 10 = (x - 5) \cdot (x - 2)

ist. Also kann man den Bruch rechts schon mal mit

(x - 2)

kürzen. Mit der Erweiterung des 2. Bruchs wie Tine1 empfahl, hast du 3 gleichnamige Brüche. Brauchst also nur noch mit Zählern rechnen

x + x + 4 = x - 5

x = - 9

Bei der 2. Aufgabe geht's aber schon ins quadratisch lösen, aber die a nicht einfach verlieren.
Ich komm dort auf die Lösungen

1.5 a

und

6 a

Eva88 aktiv_icon

19:35 Uhr, 23.05.2013

a)

Bestimme erstmal den Definitionsbereich. Dazu werden alle Nenner 0 gesetztz.

x^{2} - 16 = 0

x - 4 = 0

x - 2 = 0

D = ℝ

{

4 | - 4 | 2}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1096546

1096528

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?