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Gruppe(n) der Ordnung 11

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Gruppen

Tags: Gruppen

Jennifer87 aktiv_icon

07:58 Uhr, 09.05.2011

Hi,

Ich soll folgende Aussage auf Wahrheitsgehalt untersuchen: " Bis auf Isomorphien gibt es nur eine Gruppe der Ordnung 11"

Also die Restklassengruppe

ℤ_{11}

wäre schon mal so eine... aber wie zeige ich dass das die einzige ist?

lg Jenny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

09:38 Uhr, 09.05.2011

Hallo,

welche besondere Eigenschaft muss jede Gruppe der Ordnung 11 haben. Denk mal an die möglichen Untergruppen!

Mfg Michael

Jennifer87 aktiv_icon

17:20 Uhr, 09.05.2011

SIe hat nur die trivialen Untergruppen der Ordnung 1 und

11

11

ne Primzahl ist .

Aber kann ich daraus schließen dass es nur

ℤ_{11}

gibt?

michaL aktiv_icon

17:32 Uhr, 09.05.2011

Hallo,

nun, immerhin kannst du daraus schließen, dass die Gruppe neben

e

(für neutrales Element) noch mindestens ein weiteres der Ordnung 11 haben muss. (Warum?)
Damit kannst du eine besondere Eigenschaft ableiten. Und die ist letztlich ausschlaggebend dafür, dass die Gruppe zu

ℤ_{11}

isomorph ist.

Mfg Michael

Jennifer87 aktiv_icon

20:24 Uhr, 09.05.2011

jedes Element

\neq e

muss die Ordnung

11

haben

\Rightarrow

ismorphie zu

ℤ_{11}

stimmt das so?

michaL aktiv_icon

20:51 Uhr, 09.05.2011

Hallo,

also, wenn du es so schreibst, würde ich sagen: nein.
Nimm die Gruppe

ℤ_{2} \times ℤ_{2}

. Jedes Element

\neq e

hat die Ordnung 2. Allerdings hat

ℤ_{2} \times ℤ_{2}

vier Elemente,

ℤ_{2}

nur 2, d.h. isomorph können sie nicht sein.

Letztlich musst du einen Isomorphismus angeben oder beweisen, dass einer existiert.

Ich möchte gern auf eine Eigenschaft hinaus, die du aber partout nicht nennen willst. Betrachte doch mal ein Element

a \neq e

. Was ist mit

a^{2}, a^{3}, \dots

?

Mfg Michael

Jennifer87 aktiv_icon

23:45 Uhr, 09.05.2011

hmm... jedes Element

\neq e

ist erzeugendes Element der Gruppe?

michaL aktiv_icon

07:45 Uhr, 10.05.2011

Hallo,

genau. Und da sich die Gruppe aus einem Element heraus erzeugen lässt, ist sie also zyklisch. Damit ist die Struktur der Gruppe aber schon festgelegt.
Du kannst also einen Isomorphismus deiner elfelementigen Gruppe

G

auf

ℤ_{11}

wie folgt angeben: Sei

a \neq e

ein Element von

G

. Definiere

φ : G \to ℤ_{11}

;

x = a^{n} \mapsto \overline{n}

, wobei

\overline{n}

die Restklasse von

n

modulo 11 sein soll.

Du musst wie üblich zeigen, dass
*

φ

so wohldefiniert ist
* ein Homomorphismus ist
* injektiv (oder surjektiv) ist (das andere folgt dann schon)

Mfg Michael

Jennifer87 aktiv_icon

08:14 Uhr, 10.05.2011

wohldefiniert:

a^{0}, a^{1}, ..., a^{10}

sind verschiedene Elemente und werden auf die Restklassen

0, ...,10

Abgebildet.

a^{11} = a^{0}

muss also aufs selbe Element abgebildet werden , was hier auch passiert

, ...

. das gilt auch für alle weiteren Elemente

versteht man das unter wohldefiniert?

Homomorphismus:

φ (a^{n} \cdot a^{m}) = φ (a^{n + m}) = {[(n + m)]}_{mod 11} = {[n]}_{mod 11} + {[m]}_{mod 11} = φ (n) + φ (m)

injektivität:

phi(x)=phi(y)da aber

x = a^{n}

und

y = a^{m} \Rightarrow {[n]}_{mod 11} = {[m]}_{mod 11}

da a aber zyklisch mit "Periode 11" ist

\Rightarrow a^{m} = a^{n} \Rightarrow x = y

beim Beweis des Homomorphismus bin ich mir ziemlich sicher bei den anderen 2 dafür sehr unsicher

MfG Jenny

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