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HNF . Hesseform einer Geraden.

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

ahmedhos aktiv_icon

18:47 Uhr, 29.03.2010

Warum erhält man aus der HNF einer Geraden

g

den Abstand

d (g, Q)

zwischen

g

und dem Punkt Q?
Geometrische Interpretation der folgenden Formel ist gesucht.
Man sagt doch

d (g, Q) = \frac{\vec{n}}{| | \vec{n} | |} \cdot (\vec{q} - \vec{a})

Danke schön.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Rabanus aktiv_icon

19:38 Uhr, 29.03.2010

Hi,
der Abstand

d

ist Projektion des Vektors

(\vec{q} - \vec{a})

auf die Richtung der Normalen.
Die Richtung der Normalen wird durch den Einheitsvektor

\vec{n_{0}}

beschrieben.
Die Projektion wird durch das Skalarprodukt

d = \vec{n_{0}} \cdot (\vec{q} - \vec{a})

gebildet.

ahmedhos aktiv_icon

23:34 Uhr, 29.03.2010

Ok, das Skalarprodukt wäre:

\vec{n_{0}} \cdot (\vec{q} - \vec{a}) = | | \vec{n_{0}} | | \cdot | | \vec{q} - \vec{a} | | \cdot cos (α) = | | \vec{q} - \vec{a} | | \cdot cos (α) = d

ey! Bist du brutal, man?!

=)

Danke schön!

ahmedhos aktiv_icon

23:35 Uhr, 29.03.2010

peace

=)

ahmedhos aktiv_icon

03:02 Uhr, 11.04.2010

Was ist aber wenn

\vec{n_{0}}

anders zeigen würde?

Rabanus aktiv_icon

17:22 Uhr, 11.04.2010

Hey Ahmed,

so ganz verstehe ich Deine Rückfrage nicht.
Du müsstest also noch etwas mehr dazu sagen.

Servus

ahmedhos aktiv_icon

17:23 Uhr, 11.04.2010

Die Orientierung von

\vec{n_{0}}

ist jetzt nicht wie in der Skizze, sondern anders rum. Es ist nicht egal oder doch?

Rabanus aktiv_icon

17:40 Uhr, 11.04.2010

Ok, Du meinst also, wenn der Punkt

Q

unterhalb der Geraden liegt.

Dann ist der Abstand

d

eben negativ !

Servus

ahmedhos aktiv_icon

18:00 Uhr, 11.04.2010

alright :-)
Aber ist es so, daß in der Hesseform die rechte Seite positiv sein muß, damit

\vec{n_{0}}

vom Ursprung weg zeigt? Wenn ja, wieso ist das so?

Ich erinnere mich im 1.Semster hatten wir die Normalenform:

< \vec{n}, \vec{x} > = δ

Wobei es egal war ob

δ

jetzt positiv oder negativ war.
Falls

δ

positiv war, dann hat man die Gleichung mit

+ \frac{1}{| n |}

multipliziert
Falls

δ

negativ war, dann hat man die Gleichung mit

- \frac{1}{| n |}

multipliziert
Hauptsache es müßte rauskommen, daß

δ

in der HNF POSITIV wird.

< \vec{n_{0}}, \vec{x} > = + δ

Nun frage ich mich. Inwiefern hat das mit der Richtung von

\vec{n_{0}}

zu tun? (Vom Ursprung wegzeigend)

Eine geometrische Interpretierung wäre nicht schlecht

. .

Rabanus aktiv_icon

19:48 Uhr, 11.04.2010

Hallo Ahmed,

ich glaube Du vermengst hier zwei Sachverhalte:

1. Beschreibung einer Geraden

(ℝ^{2})

bzw. einer Ebene

(ℝ^{3})

mittels der HNF.

2. Verwendung der HNF zur Berechnung des Abstands eines beliebigen Punktes von der Geraden bzw. der Ebene.
(s.Wikipedia)
http//de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform

Servus

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