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Hardy Weinberg Gleichgewicht

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Lösung eines GLS, Minimierung der Abweichung vom realen Wert

Clemensum aktiv_icon

19:13 Uhr, 30.07.2010

p^{2} = a

= P(blau,blau)
II

2 p q = b

= P(braun, blau)
III

q^{2} = c

= P(blau,blau)
IV

p + q = 1

= P(blau, braun)

P

...Wahrscheinlichkeit der Genotypen
V

a + b + c = 1

1. Frage: Wie kann man

p

und

q

so ausrechnen, sodass dann die jeweiligen Werte für

a

b

c

möglichst genau stimmen?
Man beachte, dass es sich bei

a

b

und

c

um Messwerte handelt.

a

b

und

c

seien also vorgegeben. Sie sollten also jeweils mit einem Messfehler z.B

ε

versehen werden, der einen bestimmten Prozentsatz nicht überschreiten soll (z.B. 3%). Wie kann ich also

p

und

q

ausrechnen, sodass in allen Fällen der Fehler minimal wird.? Wie groß ist

p

und

q

wirklich?
Bsp.

a = 0, 3857

b = 0, 459

c = 0, 1549

Das überdimensionierte GLS sollte aber allgemein in abhängig von

a

b

und

c

gelöst werden. Das angegebene Beispiel beinhaltet nur drei konkrete Messwerte. Es sollte aber ene Formel gefunden werden, für die beliebige Messwerte a, b u. c eingesetzt werden können, die mit einem Fehler

ε

geschmückt sind.

2. Frage:
Gibt es einen Test mit dem man herausfinden kann, ob das Hardy-Wernberg Gleichgewicht (annähernd) erfüllt ist? Eine Formel soll disbezüglich auf allgemeiner Basis beruhen.

Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich das genau angehen soll, das GLS ist ja überbestimmt und besitzt somit doch keine eindeutige Lösung, obwohl auf obige Fragestellug doch eine Antwort gefunden werden kann (gemäß Angabe).

Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte. ! ;-)

P.S.

Abgekürzt lautet die Aufgabe wie folgt:
Es seien

a, b, c \in ℝ

vorgegeben.
Löse nun folgendes GlS (nach p bzw. q).:
I

p^{2} = a + ε_{1} (0 < ε_{1} < 0.3 \cdot a)

2 p q = b + ε_{2} (0 < ε_{2} < 0.3 \cdot b)

III

q^{2} = c + ε_{3} (0 < ε_{3} < 0.3 \cdot c)

p + q = 1

a + b + c = 1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

maxsymca

10:31 Uhr, 31.07.2010

Da würde ich mal den Solver einer Tabellenkalkulation drauf los lassen.
ggf. Excel vorhanden?
oder für OpenOffice einen nonlinear Solver aus den Addon-Seiten holen
damit experimentieren?

Clemensum aktiv_icon

11:20 Uhr, 31.07.2010

Danke für deinen Tipp. Aber, weißt du vielleicht ob es einen Test gibt, mit dem man entscheiden kann, ob dieses Gleichungssystems für gegebene Messwerte a, b und c annähernd erüllt ist. Wenn nein, hättest du eine Idee wie man einen solchen entwickelt? Ich habs versucht, kom aber leider auf keinen grünen Zweig! ;(

Yokozuna aktiv_icon

00:24 Uhr, 01.08.2010

Hallo,

also unter den angegebenen Bedingungen ist das System unlösbar, denn es gilt ja:

$1 = {(p + q)}^{2} = p^{2} + 2 p q + q^{2} = a + ϵ_{1} + b + ϵ_{2} + c + ϵ_{3} =$ $= a + b + c + ϵ_{1} + ϵ_{2} + ϵ_{3} = 1 + ϵ_{1} + ϵ_{2} + ϵ_{3} \Rightarrow 0 = ϵ_{1} + ϵ_{2} + ϵ_{3} > 0$

da alle $ϵ_{i}$ größer 0 sind. Es müßten entweder alle drei $ϵ_{i}$ gleich 0 sein oder wenn ein $ϵ_{i}$ größer als 0 ist, muß mindestens ein anderes $ϵ_{i}$ kleiner als 0 sein. Ich halte daher eher folgende Bedingungen für plausibel:

$| p^{2} - a | \leq ϵ_{1}$

$| 2 p q - b | \leq ϵ_{2}$

$| q^{2} - c | \leq ϵ_{3}$

Nachdem wir bei gegebenen a, b, c zu viele Gleichungen für die 2 Variablen p und q haben, ist das Problem überbestimmt und eine exakte Lösung in der Regel nicht zu erreichen. Deshalb habe ich versucht, p und q durch die Minimierung der Fehlerquadrate möglichst gut zu bestimmen. Da ich auch noch eine Nebenbedingung $p + q = 1$ habe, habe ich den Lagrangeformalismus verwendet:

$L (p, q) = {(p^{2} - a)}^{2} + {(2 p q - b)}^{2} + {(q^{2} - c)}^{2} + λ \cdot (p + q - 1)$

$\frac{\partial}{\partial p} L (p, q) = 4 \cdot (p^{2} - a) \cdot p + 4 \cdot (2 p q - b) \cdot q + λ = 0$

$\frac{\partial}{\partial q} L (p, q) = 4 \cdot (q^{2} - c) \cdot q + 4 \cdot (2 p q - b) \cdot p + λ = 0$

$p + q - 1 = 0$

Wenn man diese Gleichungen nach p und q auflöst, erhält man:

$p^{3} - \frac{3}{2} \cdot p^{2} + p \cdot \frac{1}{6} \cdot (5 - a + 2 b - c) + \frac{1}{6} \cdot (c - b - 1) = 0$

$q^{3} - \frac{3}{2} \cdot q^{2} + q \cdot \frac{1}{6} \cdot (5 - a + 2 b - c) + \frac{1}{6} \cdot (a - b - 1) = 0$

Man sieht, daß sich die beiden kubischen Gleichungen für p und q nur im konstanten Glied unterscheiden. Am einfachsten dürfte sein, diese Gleichungen numerisch aufzulösen.

Ich sage in Kürze noch etwas zu den Anforderungen, die an die Werte von a, b und c zu stellen sind, damit sich eine einigermaßen vernünftige Lösung ermitteln läßt.

Gruß Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

01:23 Uhr, 01.08.2010

Hallo,

hier kommt die Fortsetzung. Wenn man eine der 5 Größen a, b, c , p oder q festlegt, sind damit durch die gegebenen Gleichungen auch alle übrigen Größen bestimmt. Legt man z.B. p fest, kann man daraus zunächst q und danach auch a, b und c bestimmen. Legt man z.B. b fest, so kann man aus der quadratischen Gleichung $2 p q = 2 p (1 - p) = 2 p - 2 p^{2} = b$ den Wert für p bestimmen:

$p = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \cdot \sqrt{1 - 2 b}$

Für q gilt dann entsprechend:

$q = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \cdot (- \sqrt{1 - 2 b})$

a, b und c kann man durch p ausdrücken:

$a = p^{2}$

$b = 2 p q = 2 p (1 - p) = 2 (p - p^{2})$

$c = q^{2} = {(1 - p)}^{2}$

In der Graphik im Anhang sind die drei Funktionen zu sehen. a steigt von 0 bis 1 an, c fällt von 1 auf 0 und b ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen 0 und 1 und dem Maximum bei p=0,5 mit dem Maximalwert 0,5. Bei diesem Maximalwert ist a=b=0,25.

Daraus lassen sich bereits folgende Bedingungen an a, b und c ablesen:

$b \leq 0, 5$

$(a \leq \frac{1}{4} \land c \geq \frac{1}{4}) \lor (a \geq \frac{1}{4} \land c \leq \frac{1}{4})$

Wenn a, b und c die zueinander passenden Werte sind, so daß p und q exakt bestimmt sind, gilt:

$4 \cdot p^{2} \cdot q^{2} = {(2 p q)}^{2} \Rightarrow 4 \cdot p^{2} \cdot q^{2} - {(2 p q)}^{2} = 0$ oder

$4 a c - b^{2} = 0$

Wenn also die Werte von a, b und c zueinander passen, ist dieser Ausdruck 0. Falls aber diese drei Werte nicht zueinander passen, wird etwas ungleich 0 herauskommen. Je größer die Abweichung von 0, um so schlechter passen die 3 Werte zusammen. Die Größe der Abweichung kann man wie folgt abschätzen:

Nehmen wir an, wir haben 3 Werte $\tilde{a}$ , $\tilde{b}$ und $\tilde{c}$ gegeben. Nun bestimmen wir die zu $b = \tilde{b}$ passenden Werte a und b, so daß gilt:

$4 a c - b^{2} = 0$

Es sei $Δ = \tilde{a} - a \Rightarrow \tilde{a} = a + Δ$ .

Wegen a+b+c=0 muß dann bei festgehaltenem b gelten: $\tilde{c} = c - Δ$

Dann gilt:

$4 \tilde{a} \tilde{c} - {\tilde{b}}^{2} = 4 (a + Δ) \cdot (c - Δ) - b^{2} = 4 a c - 4 a Δ + 4 c Δ - Δ^{2} - b^{2} =$ $= 4 a c - b^{2} - 4 a Δ + 4 c Δ - Δ^{2} = 0 - 4 a Δ + 4 c Δ - Δ^{2} \approx 4 Δ \cdot (c - a) \approx 4 Δ \cdot (\tilde{c} - \tilde{a})$

wenn wir $Δ^{2}$ vernachlässigen. Damit könne wir $Δ$ abschätzen mit:

$Δ \approx \frac{4 \tilde{a} \tilde{c} - {\tilde{b}}^{2}}{4 \cdot (\tilde{c} - \tilde{a})}$

Das ist soweit meine Theorie. Ich hatte leider noch keine Zeit, auszuprobieren, ob sie der Praxis standhält.

Gruß Yokozuna

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Yokozuna aktiv_icon

01:31 Uhr, 01.08.2010

Sorry, bei der Abschätzung unten muß es natürlich $4 Δ^{2}$ heißen, statt $Δ^{2}$ .

Clemensum aktiv_icon

11:46 Uhr, 14.11.2010

Vielen Dank für eure tollen Antworten! ;-)

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