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Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: abelsche Gruppen, Gruppen, klassifizieren

mathechamp aktiv_icon

13:05 Uhr, 04.05.2017

Das ist meine Frage:
Klassifiziere entsprechend dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen die folgende Gruppe:

(ℤ_{2} x ℤ_{4})

/ < (0,1) >

Das habe ich mir überlegt:

ℤ_{2} = {0,1}

ℤ_{4} = {0,1,2,3}

ℤ_{2} x ℤ_{4} = {(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3)}

Sei

G

eine Gruppe, und

N

ein Normalteiler, dann ist

G

/ N

eine Faktorgruppe.

G

/ N =

{

| a

aus

G}

(ℤ_{2} x ℤ_{4})

/ < (0,1) > = {a (0,1) | a

aus

ℤ_{2} x ℤ_{4}}

Da ich viele ähnliche solche Aufgaben lösen muss bitte ich um eine vollständige und ausführliche Lösung. Denn wenn ich weiß die diese hier zu lösen ist, kann ich die anderen bestimmt auch lösen.
Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

13:25 Uhr, 04.05.2017

Komische Aufgabe. Das Ergebnis ist doch offensichtlich

ℤ_{4}

, da braucht man keinen Hauptsatz.

Es gilt allgemein

A * B / B = A

(im Sinne von "isomorph").

mathechamp aktiv_icon

13:28 Uhr, 04.05.2017

Zwei von den anderen Aufgaben sehen so aus:

(ℤ_{2} x ℤ_{4})

/ < (0,2) >

(ℤ_{2} x ℤ_{4})

/ < (1,2) >

Braucht man da auch keinen Hauptsatz?

DrBoogie aktiv_icon

13:35 Uhr, 04.05.2017

Ach so, ich habe die Notation missverstanden.

< (0, 1) >

ist von

(0, 1)

erzeugte Untergruppe von

ℤ_{2} \times ℤ_{4}

,
sie ist isomorph zu

ℤ_{4}

, daher ist die Antwort

ℤ_{2}

im ersten Fall.

Die Anwendung vom Hauptsatz sehe ich eigentlich in anderen Beispielen auch nicht.
Aber vielleicht zu Sicherheit: wie wurde er formuliert?

tobit aktiv_icon

13:45 Uhr, 04.05.2017

Hallo zusammen!

Ich verstehe die Aufgabe folgendermaßen:

Sie verlangt nicht, den Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen anzuwenden.
Vielmehr sollen die vorgegebenen Gruppen (modulo Isomorphie) in der Form

ℤ_{d_{1}} \times ℤ_{d_{2}} \times \dots \times ℤ_{d_{n}}

für gewisse

n \in ℕ_{0}

und

d_{i} \in ℕ

mit

1 < d_{1} \leq \dots \leq d_{n}

dargestellt werden (oder in ähnlicher Form, falls die Formulierung des Hauptsatzes über endliche abelsche Gruppen eine etwas andere Darstellung verwendet).

Viele Grüße
Tobias

DrBoogie aktiv_icon

14:34 Uhr, 04.05.2017

Aha, ich hatte Unrecht, so einfach ist das nicht.

Richtig ist

A \times B / {0} \times B = A

und nicht was ich geschrieben habe.
Deshalb ist z.B.

ℤ_{2} \times ℤ_{4} / < (0, 1) > = ℤ_{4}

, denn

< (0, 1) > = {0} \times ℤ_{4}

.

Aber in den restlichen Fällen muss man doch anders argumentieren.
Z.B.

ℤ_{2} \times ℤ_{4} / < (1, 2) > = ℤ_{4}

, weil

\overline{(0, 1)}

das erzeugende Element davon ist, das rechnet man direkt nach:

ℤ_{2} \times ℤ_{4} / < (1, 2) > = {\overline{(0, 1)}, \overline{(0, 2)}, \overline{(0, 3)}, \overline{(0, 4)}}

.

Genuaso rechnet man direkt nach:

ℤ_{2} \times ℤ_{4} / < (0, 2) > = ℤ_{2} \times ℤ_{2}

, denn

ℤ_{2} \times ℤ_{4} / < (0, 2) > = {\overline{(0, 1)}, \overline{(0, 2)}, \overline{(1, 1)}, \overline{(1, 2)}}

und

\overline{(0, 1)}

und

\overline{(1, 1)}

erzeugen unterschiedliche Untergruppen dadrin.

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