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Herangehensweise beim beweisen in der Mengenlehre

Universität / Fachhochschule

Tags: Menge, Mengenlehre

THE-E aktiv_icon

21:27 Uhr, 01.08.2016

Hallo allerseits,

ich habe heute im Tutorium eine Aufgabe gehabt, die ich zwar größtenteils nachvollziehen konnte, aber bei der Herangehensweise zur Lösung der Aufgabe hatte ich Probleme.

Aufgabe:
Zeigen oder wiederlegen Sie, dass für beliebige Mengen

A, B

gilt:

A \cap B = B \overset{}{\Leftrightarrow} B \subset A

Lösung:
gegeben:

B = A \cap B

zu zeigen:

B \subset A

x \in B \Rightarrow x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \land x \in B \Rightarrow x \in B \Rightarrow x \in A \Rightarrow B \subset A

...

Die Lösung geht weiter, aber ich würde erstmal gerne verstehen wieso man so herangeht...

Wäre nett, wenn mir jemand dabei helfen kann :-)

Gruß

THE-E

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

michaL aktiv_icon

21:50 Uhr, 01.08.2016

Hallo,

klingt nicht unbedingt nach Problemen bei Beweisen mit Mengen sondern überhaupt.
Unabhängig davon:

Du sollst eine Aussage beweisen, die im Kern eine Äquivalenz ist:

X \underline{\overset{}{\Leftrightarrow}} Y

(

X

und

Y

seien Aussagen.)

Das macht man (wenn man nichts besseres weiß), indem man beide "Implikationen", also

X \Rightarrow Y

und

Y \Rightarrow X

NACHEINANDER und unabhängig voneinander beweist.

In deinem Fall sollst du also folgende beiden (Teil-)Aussagen beweisen:

"

\Rightarrow

A \cap B = B \Rightarrow B \subseteq A

und
"

\Leftarrow

B \subseteq A \Rightarrow A \cap B = B

Allgemein gilt: Du darfst das VOR dem Implikationspfeil als wahr voraussetzen und musst daraus beweisen, dass das NACH dem Pfeil ebenfalls wahr ist.
Dazu darfst du diese Eigenschaft natürlich nicht zum Beweis ihrer selbst heranziehen. (Klar, oder?)

So, jetzt zu den Mengen:
Nehmen wir uns mal die erste Implikation "

\Rightarrow

B \cap A = B \Rightarrow A \subseteq B

her. Man beweist Teilmengeneigenschaft

B \subseteq A

, indem man für beliebiges

x \in B

zeigt, dass ebenfalls

x \in A

gilt.
(Eine Menge ist in einer anderen enthalten, wenn dieses Enthaltensein für alle Elemente der ersten Menge gilt.)
Beliebig heißt, dass man keine besonderen Elemente von

B

heraus greift.

Jetzt konkret zu "

\Rightarrow

A \cap B = B \Rightarrow B \subseteq A

:
Zu zeigen ist also, dass

B \subseteq A

gilt.
Sei also

x \in B

. Weil

B = A \cap B

gilt, muss also auch

x \in A \cap B

gelten. Das bedeutet aber, dass sowohl

x \in A

also auch

x \in B

gelten muss. Uns interessiert nur die erste Hälfte, d.h. INSBESONDERE gilt also

x \in A

, was zu zeigen war.

Die so genannte Umkehrung bedarf des Beweises einer Mengengleichheit

U = V

.
Das beweist man (wenn einem nichts besseres einfällt), indem man

U \subseteq V

UND

V \subseteq U

nacheinander und unabhängig voneinander beweist.

Ich hoffe, das hilf.

Mfg Michael

THE-E aktiv_icon

22:04 Uhr, 02.08.2016

Diese Frage habe ich dank dir vollkommen nachvollziehen können, vielen lieben Dank für deine Mühe :-)

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