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Hyperbelgleichung

Schüler

Tags: Hyperbel

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21:32 Uhr, 23.10.2012

Hallo!

Ich habe hier eine Hyperbelgleichung:
$x² + 4 x - y² + 4 y = 9$

Ok gut, dieses Minus da irretiert mich, wenn ich jetzt da die Gleichung in eine binomische Formel umwandle muss ich das - noch wo einbeziehn, also muss ich dann die vorzeichen der y-binomischen formel verändern?

Wenn ja warum?

Weil ich komme, so wie ich das gerechnet habe auf:

$\frac{(x + 2) ²}{12} - \frac{(y + 2) ²}{12} = 1$

Mein Mittelpunkt würde jetzt bei -2/-2 liegen, aber Lösung ist -2/2, also gehört statt y+2, y-2.

Aber warum denn?

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hyperbeln

Mathe45

22:25 Uhr, 23.10.2012

x^{2} + 4 \cdot y - y^{2} + 4 \cdot y = 9

x^{2} + 4 \cdot x + 4 - y^{2} + 4 \cdot y - 4 = 9

x^{2} + 4 \cdot x + 4 - (y^{2} - 4 \cdot y + 4) = 9

{(x + 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 9

\Rightarrow m = - 2

und

n = 2

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22:47 Uhr, 23.10.2012

Ahh cool danke!

Andere Frage:

Die Gerade $y = \frac{x}{3} + 1$ schneidet die Hyperbel $4 x² - 9 y² = 36$ in zwei Punkten.

a.) Ermittle die Schnitpunkte und stelle dort die Gleichungen der Tangenten auf.

Ok einfach die 2 Funktionen für y gleichsetzen und auf x umforen.

Die Schnittpunkte sind: (-3|0) und (5|8/3)

Ich soll jetzt auch die Tangentengleichung an den Schnittpunkten berechnen. Aber mein Problem ist, ich weiß nicht zu welcher Funktion die Tangente des Schnittpunkts 1 gehört und welche Funktion die Tangente zu Schnittpunkt 2 gehört.

Oder wie soll ich da bitte vorgehn?

Das ist klar: eine Tangente sieht so aus: y=kx+d, wobei k die Steigung ist, also die 1. Ableitung.

Wie weiß ich jetzt welche Steigung jener Funktion zur welcher Tangente gehört? Gibt es da vier Tangenten dann, für jede Funktion eine an einem Punkt?

Ich vertehs nicht.

Mathe45

22:52 Uhr, 23.10.2012

Das hängt alles von deinen mathematischen Grundlagen und Wissen ab.
Angenommen, die Schnittpunkte seien schon berechnet worden.
Tangentengleichung in einem Hyperbelpunkt.
Entweder

y = k \cdot x + d

. Punkt bekannt, Anstieg fehlt, Anstieg über erste Ableitung.
Spaltformel der Hyperbeltangente.
Was ist dir bekannt?

Mr-Maths aktiv_icon

06:34 Uhr, 24.10.2012

Alles was ich hoben geschrieben habe.

Die schnittpunkte etc.

Mathe45

06:59 Uhr, 24.10.2012

OK.
Nachdem die Gerade mit der Hyperbel zwei Schnittpunkte hat, gibt es auch zwei Tangenten.

1)

Tangente im Hyperbelpunkt

S_{1} (- 3 | 0)

y = k \cdot x + d

S_{1}

ein Tangentenpunkt ist, erfüllen seine Koordinaten die Tangentengleichung.

0 = (- 3) \cdot x + d

Anstieg der Tangente:hy:4*x^2-9*y^2=36

k =

?
Erste Ableitung bilden

8 \cdot x - 18 \cdot y \cdot y' = 0 \Rightarrow y' = \frac{8 \cdot x}{18 \cdot y} = \frac{4 \cdot x}{9 \cdot y}

( Differnziert wird hier nach der Regel der zusammengesetzten Funktion bez.

y)

y'_{x = - 3} = \frac{4 \cdot (- 3)}{9 \cdot 0} =

??? Der Anstieg dieser Tangente ist unendlich groß, also handelt es sich um eine senkrechte Tangente.
Die Form

y = k \cdot x + d

kann hier nicht verwendet werden, Tangentengleichung daher

t : x = - 3

2)

Tangente im Hyperbelpunkt

S_{2} (5 | \frac{8}{3})

analog, aber ohne Probleme.

prodomo aktiv_icon

07:02 Uhr, 24.10.2012

Du hast die Schnittpunkte richtig bestimmt. Bei

(- 3 | 0)

ist die Tangente ganz leicht zu finden, wenn du mal auf die Zeichnung (immer machen

!)

schaust. Na, dämmert's ?
Für

(5 | \frac{8}{3})

brauchst du die Steigung der Hyperbel in diesem Punkt. Dabei musst du beachten, dass die Hyperbel ja aus 2 Funktionen besteht, von denen eine die obere Hälfte beschreibt, die andere die untere.

(5 | \frac{8}{3})

gehört zur oberen Hälfte. Aus

4 \cdot x^{2} - 9 \cdot y^{2} = 36

folgt

y = \pm \frac{2}{3} \cdot \sqrt{x^{2} - 9}

. Die obere Hälfte hat demnach

y = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{x^{2} - 9}

. Daraus folgt

y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}

. Für

x = 5

ergibt sich

y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{6}

. Die Tangente geht also mit der Steigung

\frac{5}{6}

durch

(5 | \frac{8}{3})

. Mit

\frac{8}{3} = \frac{5}{6} \cdot 5 + b

folgt

b = - \frac{3}{2}

. Also heißt sie

y = \frac{5}{6} \cdot x - \frac{3}{2}

Mathe45

07:10 Uhr, 24.10.2012

Oder du greifst auf "gesichertes" Wissen zurück ( Formelsammlung )
Anstieg einer Hyperbeltangente im Punkt

P (x_{1} | y_{1}) : k = \frac{b^{2} \cdot x_{1}}{a^{2} \cdot y_{1}}

Oder du verwendest gleich die "Spaltform".
Hyperbel:

b^{2} \cdot x^{2} - a^{2} \cdot y^{2} = a^{2} \cdot b^{2}

Tangente im Punkt

P (x_{1} | y_{1})

t : b^{2} \cdot x \cdot x_{1} - a^{2} \cdot y \cdot y_{1} = a^{2} \cdot b^{2}

Das erspart natürlich jegliche Rechnung.

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