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Indefinite orthogonale Gruppe

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Tags: Gruppen, Lineare Abbildungen, Vektorraum

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17:54 Uhr, 17.06.2013

Ich möchte beweisen, dass die indefinite orthogonale Gruppe

O (p, q) = {A \in M (n, ℝ) : γ (A x, A y) = γ (x, y)}

mit

γ (x, y) = x^{T} J y

und

J = (\begin{array}{rcl} I_{p} & 0 \\ 0 & - I_{q} \end{array})

eine Untergruppe der

G L (n, ℝ)

ist.

γ

ist eine Bilinearform auf dem

ℝ^{n}

und es gilt

n = p + q

.

Ich wollte zunächst zeigen, dass ein

A \in M (n, ℝ)

G L (n, ℝ)

liegen muss. Dafür:

γ (A x, A y) = (A x)^{T} J A y = x^{T} A^{T} J A y . . .

Nun müsste ja

. . . = x^{T} J A^{T} A y = x^{T} J y

gelten. Also:

A

orthogonal (

A^{T} = A^{- 1}

) und damit insbesondere invertierbar sein. Doch wie beweise ich das? Wie beweise ich überhaupt das

A^{T}

und

J

kommutieren?

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
LG ME

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

18:17 Uhr, 17.06.2013

Hallo,

wäre

A

NICHT invertierbar, so gäbe es ein

x \neq 0

mit

A x = 0

. Dann würde für ALLE

y

gelten:

γ (x, y) = γ (A x, A y) = γ (0, A y) = 0

, woraus folgte, dass

γ

degeneriert/ausgeartet wäre. Widerspruch zur besonderen Form von

J

.

Reicht das schon?

Mfg Michael

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18:49 Uhr, 17.06.2013

Hi und vielen Dank für deine Anregung. Reicht mir leider noch nicht, warum ist die Ausgeartetheit von

γ

dann ein Widerspruch zur besonderen Form von

J

? Könntest du dazu was sagen?

LG ME

michaL aktiv_icon

18:57 Uhr, 17.06.2013

Hallo,

beginne mit

x \neq 0

und

x^{T} J x = 0

.
Was folgt daraus?

Mfg Michael

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18:59 Uhr, 17.06.2013

Moment,

j

ist ja die darstellende Matrix von

γ

, oder? Dann ist der Ausartungsraum gleich

0

und somit ist

γ

nicht-ausgeartet, richtig?

michaL aktiv_icon

19:08 Uhr, 17.06.2013

Hallo,

so ist es.

Mfg Michael

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19:10 Uhr, 17.06.2013

Super ;-) Wenn ich jetzt zeigen will, dass auch das Inverse von einem

A \in O (p, q)

O (p, q)

liegt, wie kann ich da vorgehen?

Es wäre ja zunächst

A \in O (p, q) \Leftrightarrow A^{T} J A = J

zu zeigen. Kann ich das so machen:

A \in O (p, q) \Rightarrow γ (A x, A y) = x^{T} (A^{T} J A) y = x^{T} J y = γ (x, y) \Leftrightarrow A^{T} J A = J

Oder ist das zu simple gedacht?

michaL aktiv_icon

19:38 Uhr, 17.06.2013

Hallo,

eigentlich ziemlich straight!

γ (A x, A y) = γ (x, y)

soll ja für alle

x, y

gelten, also auch für

x = A^{- 1} x ʹ

y = A^{- 1} y ʹ

.

Mach da mal selber weiter!

Mfg Michael

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20:09 Uhr, 17.06.2013

Naja, ich hätte dann

J = A^{T} J A

eingesetzt. Dann gilt:

x^{T} (A^{- 1})^{T} J A^{- 1} y = x^{T} (A^{- 1})^{T} A^{T} J A A^{- 1} y = x^{T} J y

Dafür muss mein Beweis für

A \in O (p, q) \Leftrightarrow J = A^{T} J A

aber korrekt sein (ich muss dies ohnehin beweisen und für mein Anliegen hier bietet es sich dann super an auszunutzen).

Kannst du was dazu sagen?

LG ME

michaL aktiv_icon

20:32 Uhr, 17.06.2013

Hallo,

ich fürchte, es gibt Gegenbeispiele, was die Vertauschbarkeit der Matrizen

J

mit BELIEBIGEN Matrizen

A

angeht.

Vermutlich kannst du die Vertauschbarkeit mit den gemeinten Matrizen direkt über die Untergruppeneigenschaft zeigen!

Mfg Michael

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18:45 Uhr, 18.06.2013

Hi,

tut mir leid, aber ich habe Schwierigkeiten deine Antwort zu verstehen. Ich möchte folgendes ausnutzen:

A \in O (p, q) \Rightarrow γ (A x, A y) = x^{T} (A^{T} J A) y = x^{T} J y = γ (x, y) \Leftrightarrow A^{T} J A = J

Ich frage mich jedoch, ob die Äquivalenz so korrekt ist. Ich würde sagen ja, da es keinen anderen Weg geben kann, sodass

γ (A x, A y) = γ (x, y)

gelten würde ...

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13:34 Uhr, 19.06.2013

Niemand der dazu etwas sagen kann?

michaL aktiv_icon

14:29 Uhr, 19.06.2013

Hallo,

doch, die Gleichung

A^{T} J A = J

ist für die Matrizen aus

O (p, q)

gültig.

Mfg Michael

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