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Induktion - Rechenregeln

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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10:00 Uhr, 09.12.2016

Hallo ihr Lieben,

ich führe gerade einen Beweis mittels Induktion durch. Hat auch alles geklappt, jedoch bleibe ich am Schluss hängen. Und zwar soll ich folgendes beweisen:

\sum_{i = 1}^{n} {(- 1)}^{k + 1} \cdot

k²

= {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n (n + 1)}{2}

Induktionsanfang und Induktionsvoraussetzung sind klar.

Induktionsschritt schaut bei mir folgendermaßen aus:

Ich muss zeigen, dass

\sum_{i = 1}^{n + 1} {(- 1)}^{k + 1} \cdot

k²

= {(- 1)}^{n + 2} \cdot \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}

gilt

Also:

\sum_{i = 1}^{n + 1} {(- 1)}^{k + 1} \cdot

k²

= \sum_{i = 1}^{n} {(- 1)}^{k + 1} \cdot

k²

+ {(- 1)}^{n + 2} \cdot

(n+1)²

= {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n (n + 1)}{2} + {(- 1)}^{n + 2} \cdot

(n+1)² = ?

So hier komme ich nicht mehr weiter. Ich habe zwar eine Lösung verstehe aber nicht wie mein Prof auf den nächsten Schritt kommt, der da wäre:

= {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot ((n - 2 (n + 1)) = {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2} = {(- 1)}^{n + 2} \cdot \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}

gilt

Gibt es irgendeinen Trick für das

{(- 1)}^{n + 1}

? Ich weiß, dass ich das noch als

{(- - 1)}^{n} \cdot {(- 1)}^{1}

schreiben kann, aber das bringt mich auch nicht weiter. Könnt ihr mir evtl helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Rechenregeln zum Integral
Rechnen mit Logarithmen

Respon

10:10 Uhr, 09.12.2016

{(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n \cdot (n + 1)}{2} + {(- 1)}^{n + 2} \cdot {(n + 1)}^{2}

Herausheben

: {(- 1)}^{n + 2} \cdot (n + 1)

\Rightarrow

{(- 1)}^{n + 2} \cdot (n + 1) \cdot [{(- 1)}^{- 1} \cdot \frac{n}{2} + n + 1] = {(- 1)}^{n + 2} \cdot \frac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2}

Und das ist die Behauptung für

n + 1

Bummerang

10:17 Uhr, 09.12.2016

Hallo,

"Gibt es irgendeinen Trick für das

{(- 1)}^{n + 1}

? Ich weiß, dass ich das noch als (--1)^n*(−1)^1 schreiben kann, aber das bringt mich auch nicht weiter."

Es gilt definitiv für die Hälfte aller

n : {(- 1)}^{n + 1} \neq {(- - 1)}^{n} \cdot {(- 1)}^{1}

Was aber für alle

n

gilt:

{(- 1)}^{n + 1} = {(- 1)}^{n} \cdot {(- 1)}^{1}

Aber das nutzt Dir hier nichts, denn Du hast ja

{(-)}^{n + 2}

und willst das am Ende auch behalten:

{(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n \cdot (n + 1)}{2} + {(- 1)}^{n + 2} \cdot {(n + 1)}^{2}

= {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot n + {(- 1)}^{n + 1} \cdot (- 1) \cdot (n + 1) \cdot (n + 1)

= {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot n + {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot 2 \cdot (- 1) \cdot (n + 1)

= {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot n + {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot (- 2) \cdot (n + 1)

= {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot (n + (- 2) \cdot (n + 1))

= {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot (n - 2 \cdot (n + 1))

Das sollte Di jetzt bekannt vorkommen! Da mache ich jetzt weiter:

= {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot (n - 2 \cdot n - 2)

= {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot (- n - 2)

= {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot ((- 1) \cdot (n + 2))

= {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot (- 1) \cdot (n + 2)

= {(- 1)}^{n + 1} \cdot (- 1) \cdot \frac{n + 1}{2} \cdot (n + 2)

= {(- 1)}^{n + 2} \cdot \frac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2}

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10:22 Uhr, 09.12.2016

Wie kommst du von deinem 4. auf den 5. Schritt? Wo ist auf einmal das

{(- 1)}^{n + 1}

hin?

Und

{(- - 1)}^{n + 1}

war ausversehen ein Tippfehler

: - O

ich meinte natürlich

{(- 1)}^{n + 1}

anonymous

10:32 Uhr, 11.12.2016

Hallo
Eine kleine Formalität noch zur Aufgabenstellung.
Du schreibst

\sum_{i = 1} . .

.
Das

i

taucht aber nirgends mehr auf. Formal wäre das eine Summe vieler Konstanten.
Wir alle ahnen, dass eigentlich gemeint war:

\sum_{k = 1} . .

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