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Induktive Folge, Konvergenz zeigen

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen

gerolsteiner aktiv_icon

21:59 Uhr, 15.08.2017

Hallo,
ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe, bei der ich nicht sicher bin, ob ich sie richtige angehe.

In der Aufgabe steht begründen sie ihre Antwort. Ich versuche es mal zu beweisen...

Um die Konvergenz zu zeigen, muss man also Monotonie und Beschränktheit zeigen.

Zur Monotonie:

Vom Gefühl her, sieht die Funktion

f (x) = \sqrt{1 + x}

so aus, als ob sie streng monoton wächst.

Also

z . z

a (n) < a (n + 1)

Beweis mittels vollständiger Induktion:

I.A.:

n = 0

a (n) = a (0) = r

a (n + 1) = a (1) = \sqrt{1 + r}

\to r < \sqrt{1 + r}

Diese Ungleichung geht nur meiner Meinung, wenn

r \in [0,1]

.
Dann stimmt der I.A.

I.V. : Es gilt für ein beliebiges

n \in N : a (n) < a (n + 1)

I.S.:

z . z

a (n + 2) > a (n + 1)

Betrachte

a (n + 2) = \sqrt{1 + a (n + 1)} > (I . V .) \sqrt{1 + a (n)} > a (n + 1)

\to

Somit streng monoton wachsend.

zur Beschränktheit: Da

r \in [0,1]

und

a (n)

ist streng monoton wachsend,

d . h

a (n) < a (n + 1),

gilt:

0 \leq a (n)

oder

1 \leq a (n)

für alle

n \in N

z . z

a (n) < 10

(10

einfache Schätzung)

Beweis mittels voll. Induktion:

I.A.:

n = 0 a (n) = a (0) = 0 < 10

I.V.: Für ein

n \in N

gilt

a (n + 1) = \sqrt{1 + (a (n))} < 10

I.S.:

z . z

a (n + 2) = \sqrt{1 + a (n + 1)} < 10

Beweis:

a (n + 2) = \sqrt{1 + a (n + 1)} < (I . V .) \sqrt{1 + 10} = \sqrt{11} < 10

\to

Folge ist beschränkt und streng monoton wachsend und somit auch Konvergent für

r \in [0,1]

Grenzwert:

lim = a (n + 1) = lim \sqrt{1 + a (n)} = a \to \sqrt{1 + a} = a

\to

mit

P - Q

Formel

a_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

\to a_{1}

ist der Grenzwert für

r \in [0,1]

Danke für die Hilfe schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

22:51 Uhr, 15.08.2017

Hallo
warum nur für

r \in [0,1]

da hast du Konvergenz gezeigt,
aber was wenn

r = \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{5}

oder etwas kleiner ist.
2. für

r >

dem GW hast du gar nicht untersucht. etwa

r = 100 a_{0} = 100, a_{1} = 10,05 a_{2} = 3, .

. usw.
also hast du nur einen kleinen Teil der

r

gefunden.
Gruß ledum

gerolsteiner aktiv_icon

10:05 Uhr, 16.08.2017

Danke für die Antwort!

Ok ich sehe, dass das

r \in [\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})

schon mal geht.

Für

r > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

ist die Ungleichung

r < \sqrt{1 + r}

nicht erfüllt.

Das klingt wohl etwas schwammig. Reicht das als Begründung oder muss man das anders zeigen?

Respon

10:45 Uhr, 16.08.2017

Google mal "Fibonacci-Zahlen" bzw. "1,618033989...".

michaL aktiv_icon

14:51 Uhr, 16.08.2017

Hallo,

@ledum und Respon: Eigentlich möchte ich euch nicht in die Parade fahren, aber die Sache ist so schöne einfach, dass eine andere Art der Induktion für die Monotonie möglich (und geboten?) ist.

@gerolsteiner:

Die Induktion ist in sofern ganz einfach, als dass sich die Funktion

f : x \mapsto \sqrt{1 + x}

nur aus monotonen Teilen zusammensetzt: "+" ist monoton, d.h. gilt

a < b

, so auch

a + x < b + x

. Ebenso ist

\sqrt{.}

monoton, d.h. für

a < b

gilt auch

\sqrt{a} < \sqrt{b}

.

Was sollst du damit?

Damit liegt die Art der Monotonie der Folge

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

mit

a_{n + 1} := f (a_{n})

und

a_{0} := r

allein durch die Relation zwischen

a_{0}

und

a_{1}

fest.
Gilt nämlich:

a_{0} \leq a_{1}

, so folgt wegen der Monotonie von "+" und "

\sqrt{.}

" schon

f (a_{0}) = \sqrt{1 + a_{0}} \leq \sqrt{1 + a_{1}} = f (a_{1})

, d.h.

a_{1} \leq a_{2}

. (Induktiv auch alle weiteren!)

Es geht also nur darum, welches Relationszeichen in

r \overset{<}{\overset{=}{>}} \sqrt{1 + r}

gilt.
Ist es das obere, gilt also

a_{0} = r < \sqrt{1 + r} = a_{1}

, so ist die Folge monoton steigend.

Ist es das mittlere, so ist die Folge konstant!

Ist es das untere, so ist die Folge monoton fallend.

So, was muss man noch klären?
* Beschränktheit
* evtl, dass die Folge stets berechenbar bleibt. Das ist verwandt zum ersten Punkt, da Wurzeln nie negativ sind und die Wurzel für

x \geq - 1

auch immer berechenbar ist, also insbesondere für

x \geq 0

.

Damit erhältst du, dass die Folge immer genau dann konvergiert, wenn

f (r)

berechenbar ist, also

r \geq - 1

gilt.

Mfg Michael

gerolsteiner aktiv_icon

22:51 Uhr, 16.08.2017

Vielen Dank für die Ausführliche Antwort!

Zu der Frage welches Relationszeichen gilt:

r < \sqrt{1 + r}

gilt, wenn

r \in [- 1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}]

r = \sqrt{1 + r}

gilt, wenn

r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

r > \sqrt{1 + r}

gilt, wenn

r \in (\frac{1 + \sqrt{5}}{2},

infinity)

Was kann ich damit jetzt anfangen?

Meine Überlegungen zu Beschränktheit:
Muss ich das jetzt für alle 3. Fälle zeigen?

Also im Fall,

r < \sqrt{1 + x}

Unter Schranke für die Folge:

- 1 \leq a_{n}

Also noch

z . z

a_{n} < 10

I.A.:

n = 0

r \in [- 1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}]

a (n) = a (0) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} < 10

Stimmt.

I.V.: Für ein n∈N gilt:

a (n + 1) = \sqrt{1 + (a (n))} < 10

I.S.:

z . z

a (n + 2) = \sqrt{1 + a (n + 1)} < 10

Beweis:

a (n + 2) = \sqrt{1 + a (n + 1)} < (I . V .) \sqrt{1 + 10} = \sqrt{11} < 10

q . e . d

michaL aktiv_icon

07:44 Uhr, 17.08.2017

Hallo,

> Was kann ich damit jetzt anfangen?

Damit wird das gesamte Startintervall

[- 1; inf t]

, in dem

r

liegen kann, in drei Teile aufgeteilt.

> Meine Überlegungen zu Beschränktheit:
> Muss ich das jetzt für alle 3. Fälle zeigen?

Im Prinzip ja. Ich sehe jedenfalls nicht, wie du das für alle drei Fälle gleichzeitig machen könntest. Die Vorgehensweise ist aber in den drei Fällen auch vom Grundsatz her verschieden!

In dem von dir als drittes angegebenem Teil ist die so definierte Folge monoton fallend. Dass sie dort aber nach unten(!) beschränkt ist (und nur das musst du zeigen), sollte wegen der Wurzel klar sein. (Wie ich schon andeutete, musst du dir eher Gedanken machen, dass du nicht aus dem berechenbaren Bereich heraus rutschst. Das ist aber nie der Fall, was sich auch allgemein zeigen lässt.)

Im mittleren Fall (der nur einen einzigen Wert für

r

umfasst) ist die Folge konstant. Dass konstante Folgen konvergieren, habt ihr sicher in der Vorlesung behandelt. Dabei musst du nur die Konstanz nachweisen, die sich aber eigentlich aus der Monotoniebetrachtung ergibt, wenn du sie so machst, wie ich die im letzten posting nahegelegt habe. Beschränktheit spielt hier dann nicht direkt eine Rolle.

In dem von dir erstes angegebenem Fall wird die Folge monoton steigend sein. Nur hier musst du wirklich für die Beschränktheit Arbeit leisten.
Bedenke, dass der Grenzwert (wie du den bestimmen kannst, weißt du?) eine obere Grenze darstellt.

Zu deiner Beschränktheitsuntersuchung:
Du bist im ersten Bereich, die Folge ist also monoton steigend. Dafür ist dein Nachweis in Ordnung.

Mfg Michael

gerolsteiner aktiv_icon

09:55 Uhr, 18.08.2017

Nochmals danke für die Antwort.

Zum Grenzwert: So wie ich ihn in meinem ersten Post berechnet habe, passt nicht?
also

\frac{1 + \sqrt{5}}{2}

anonymous

10:08 Uhr, 18.08.2017

Für alle

r -

Werte aus deinem Intervall bekommst du diesen Grenzwert.
( hier einige Zahlenbeispiele )

gerolsteiner aktiv_icon

17:56 Uhr, 18.08.2017

Danke für eure Hilfe!

gerolsteiner aktiv_icon

20:42 Uhr, 23.09.2017

Hallo,

ich habe nochmal eine Frage zu dieser Aufgabe. Und zwar soll diese hier leichter zu lösen sein, indem man den Satz aus einer unserer Übung benutzen kann. (s.unten)

Also wenn ich den auf diese Aufgabe anwende.

Es muss gelten: Sei

f (x)

stetig. Wenn

a_{r}

konvergiert, dann gilt

f (lim (a_{r})) = lim (a_{r}), s . d

lim (a_{r})

Fixpunkt von

f

ist.

Da

a := lim a_{r} (n)

ein Fixpunkt von

f

ist und

f

stetig, muss

f (a) = a

gelten.

f (a) = a

\sqrt{1 + a} = a < \to a_{1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, a_{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

Damit konvergiert die Folge. Nun ist ja die Frage, für welche

r > 0

r > a_{2}

a_{2}

ist ja negativ und da

r > 0

konvergiert

r

für alle

r > 0

?

Ist das mit diesem Satz ersichtlich? Den limes aus dem Satz oben, lässt man schon mit

n \to \infty

laufen nicht mit

r \to \infty

gerolsteiner aktiv_icon

21:25 Uhr, 24.09.2017

Wäre wirklich wichtig, wenn mir einer auf meine letze Frage eine Antwort geben könnte. Am Mittwoch hab ich eine Klausur und das hier steht für mich noch offen. Danke!

ledum aktiv_icon

16:41 Uhr, 25.09.2017

Hallo
Dein Satz benutzt ja die Konvergenz von

a (n)

und zeigt sie nicht. er hilft dir nur den GW zu bestimmen, wenn du die Konvergenz gezeigt hast.
Gruß ledum

ermanus aktiv_icon

18:00 Uhr, 25.09.2017

Hallo,

nehmen wir als Beispiel

0 \leq r \leq \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

(1. und 2. Fall von MichaL),
also

a_{r} (0) = r \leq \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = a_{r} (1)

. Wie MichaL
bereits gezeigt hat, folgt daraus

a_{r} (n) \leq a_{r} (n + 1)

für alle

n \in ℕ

.
Da im Falle der Konvergenz

a := \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

der Grenzwert sein muss,
und die Folge monoton wächst, muss

a

eine obere Schranke sein,
und in der Tat
sei

a_{r} (n) < = a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

. Dann folgt

a_{r} (n + 1) < = \sqrt{1 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}} = \frac{1}{2} \sqrt{(1 + \sqrt{5})^{2}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = a

Gruß ermanus

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