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Inn und Außenkreissmittelpunkt berechnen

Schüler Sekundarschule, 10. Klassenstufe

Tags: Außenkreismittelpunkt, Innenkreismittelpunkt

aberl aktiv_icon

17:53 Uhr, 07.06.2009

WIe berechne ich Mittels Vektoren Inn und Außenkreismittelpunkt?

Bräuchte einen Ansatz und eien kleine erklärung dazu.

A (- 3 | - 8) B (6 | 4) C (- 8 | 4)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

22:36 Uhr, 07.06.2009

Zunächst mal nachdenken, wie Inkreis und Umkreis eines Dreiecks definiert sind. Dann nachschauen, wie man vektoriell Winkelhalbierende bzw. Orthogonale (durch einen Punkt) vektoriell bestimmt. Danach die jeweiligen sich ergebenden Vektoren schneiden lassen (gleichsetzen) und schwuppdiwupp hätten wir schon mal die Kreismittelpunkte. Dann nochmal nachblättern, wie man an den Radius kommt und

Hurraaa!

schon sind wir am Ziel!

m-at-he

05:08 Uhr, 10.06.2009

Hallo,

nachdem siche die Aufgabe möglicherweise längst erledigt hat, hier mal meine Lösung ohne Winkelhalbierende.

Geg.:

A (- 3; - 8), B (6; 4), C (- 8; 4)

Ges.: Umkreismittelpunkt und Umkreisradius, Inkreismittelpunkt und Inkreisradius

Der Umkreismittelpunkt

M_{u} (x_{m}; y_{m})

hat von allen drei Eckpunkten den selben Abstand und wegen der strengen Monotonie der Quadratfunktion für nichtnegative Argumente sind auch die Quadrate der Abstände gleich:

{| A M_{u} |}^{2} = {| B M_{u} |}^{2} = {| C M_{u} |}^{2}

Daraus machen wir das folgende Gleichungssystem

{| A M_{u} |}^{2} = {| B M_{u} |}^{2}

{| A M_{u} |}^{2} = {| C M_{u} |}^{2}

{(x_{m} + 3)}^{2} + {(y_{m} + 8)}^{2} = {(x_{m} - 6)}^{2} + {(y_{m} - 4)}^{2}

{(x_{m} + 3)}^{2} + {(y_{m} + 8)}^{2} = {(x_{m} + 8)}^{2} + {(y_{m} - 4)}^{2}

x_{m}^{2} + 6 \cdot x_{m} + 9 + y_{m}^{2} + 16 \cdot y_{m} + 64 = x_{m}^{2} - 12 \cdot x_{m} + 36 + y_{m}^{2} - 8 \cdot y_{m} + 16

x_{m}^{2} + 6 \cdot x_{m} + 9 + y_{m}^{2} + 16 \cdot y_{m} + 64 = x_{m}^{2} + 16 \cdot x_{m} + 64 + y_{m}^{2} - 8 \cdot y_{m} + 16

18 \cdot x_{m} + 24 \cdot y_{m} = - 21

- 10 \cdot x_{m} + 24 \cdot y_{m} = 7 \Rightarrow 24 \cdot y_{m} = 10 \cdot x_{m} + 7;

Einsetzen in die erste Gleichung

18 \cdot x_{m} + 10 \cdot x_{m} + 7 = - 21

28 \cdot x_{m} = - 28

x_{m} = - 1

24 \cdot y_{m} = 10 \cdot x_{m} + 7 = 10 \cdot (- 1) + 7 = - 10 + 7 = - 3 \Rightarrow y_{m} = - \frac{1}{8}

\Rightarrow

Umkreismittelpunkt:

M_{u} (- 1; - \frac{1}{8})

Der Umkreisradius ist gleich einem der Abstände von den Eckpunkten

r_{u} = | B M_{u} | = \sqrt{{(- 1 - 6)}^{2} + {(- \frac{1}{8} - 4)}^{2}} = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- \frac{33}{8})}^{2}} = \sqrt{49 + \frac{1089}{64}} = \sqrt{\frac{3136 + 1089}{64}} = \sqrt{\frac{4225}{64}} = \frac{65}{8} = 8,125

Für den Inkreisradius errechnen wir zunächst den Umfang und die Fläche des Dreiecks. Dazu ermitteln wir zunächst die 3 Vektoren, die die Seiten bilden und deren Längen:

AB

= (6; 4) - (- 3; - 8) = (9; 12);

|BA|

= \sqrt{9^{2} + 12^{2}} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15

= (- 8; 4) - (6; 4) = (- 14; 0);

|BA|

= 14

= (- 3; - 8) - (- 8; 4) = (5; - 12);

|AC|

= \sqrt{5^{2} + {(- 12)}^{2}} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13

u =

|AC|

+

|BC|

+

|AB|

= 13 + 14 + 15 = 42

Bei der Flächenberechnung nutzen wir die Tatsache, daß die Seite BC parallel zur x-Achse verläuft. Die Länge dieser Seite ist unsere Grundseitenlänge und die Differenz der y-Koordinaten von

B

und

C

und der y-Koordinate von A ist die Höhe des Dreiecks:

g =

|BC|

= 14

h = 4 - (- 8) = 12

A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = 84

Der Inkreisradius eines jeden Dreiecks ergibt sich als:

r_{i} = \frac{2 \cdot A}{u} = \frac{2 \cdot 84}{42} = 4

Bei Dreiecken gibt es Hilfsvariable

s,

die als

\frac{u}{2}

definiert ist. In unserem Fall ist also

s = \frac{42}{2} = 21

Mit dieser Hilfsvariablen kann man den Abstand der Berührpunkte von den Eckpunkten berechnen:

Jetzt sehen wir, daß die Seite BC parallel zur x-Achse verläuft. Der Vektor zwischen Inkreismittelpunkt und Berührpunkt steht ja immer orthogonal auf einer Seite. Deshalb kann man durch Berechnung der Berührpunktes

B_{i}

auf der Seite BC schnell und einfach den Inkreismittelpunkt errechnen:

Abstand des Berührpunktes

B_{i}

auf BC vom Punkt

B = s -

|AC|

= 21 - 13 = 8

. Damit ergibt sich für

B_{i} :

0 B_{i} = 0 B +

8*1/|BC|*BC

= (6; 4) + 8 \cdot (- 1; 0) = (6; 4) + (- 8; 0) = (- 2; 4)

Ein zum Vektor BC orthogonaler Vektor ist

(0; - 1),

dieser Vektor ist bereits normiert und "zeigt" in das innere des Dreiecks. Deshalb kann man nunmehr den Inkreismittelpunkt

M_{i}

berechnen als:

0 M_{i} = 0 B_{i} + 4 \cdot (0; - 1) = (- 2; 4) + (0; - 4) = (- 2; 0)

\Rightarrow

Inkreismittelpunkt:

M_{i} (- 2; 0)

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