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Integralrechnung; Grenzwert bestimmen

Schüler Gymnasium,

Tags: 2], Grenzwert, Intervall [0, Un und On berechnen

Blabliblub2 aktiv_icon

19:52 Uhr, 22.08.2011

Hallo,
ich sitze schon seit über einer Stunde an dieser Aufgabe und habe noch kaum was geschrieben :(

folgende Aufgabe:

Berechnen Sie Un und On für die Funktion f über dem Intervall I. Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils für n ->∞ ?

f(x) = 2-x im Intervall [0;2]

mein Ansatz:

Un= 1/n×(2-(2-1)/n)+ 1/n×(2-(2-2)/n)+⋯+ 1/n×(2- ?????

weiter komme ich leider nicht :(

Ich bedank mich jetzt schon mal :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
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Shipwater aktiv_icon

10:30 Uhr, 23.08.2011

f (x) = 2 - x

im Intervall

[0; 2]

Zuerst zerlegst du das Intervall in

n

gleich breite Teile. Damit hat jedes Teilintervall die Breite

b = \frac{2}{n}

.
Die Obersumme ergibt sich zu:

O_{n} = \frac{2}{n} \cdot f (0) + \frac{2}{n} \cdot f (\frac{2}{n}) + \frac{2}{n} \cdot f (\frac{4}{n}) + ... + \frac{2}{n} \cdot f (\frac{2 (n - 1)}{n}) = \frac{2}{n} \cdot (2 - 0 + 2 - \frac{2}{n} + 2 - \frac{4}{n} + ... + 2 - \frac{2 (n - 1)}{n})

O_{n} = \frac{2}{n} \cdot (2 n - \frac{2}{n} - \frac{4}{n} - ... - \frac{2 (n - 1)}{n}) = \frac{2}{n^{2}} \cdot (2 n^{2} - 2 - 4 - ... - 2 (n - 1)) = \frac{2}{n^{2}} \cdot (2 n^{2} - (2 + 4 + ... + 2 (n - 1))

O_{n} = \frac{2}{n^{2}} \cdot (2 n^{2} - \sum_{k = 1}^{n - 1} 2 k)

An dieser Stelle kommt

\sum_{k = 1}^{n} 2 k = n (n + 1)

ins Spiel. Du kannst also

\sum_{k = 1}^{n - 1} 2 k

ersetzen durch

(n - 1) n

. Damit hast du:

O_{n} = \frac{2}{n^{2}} \cdot (2 n^{2} - (n - 1) n) = \frac{2}{n^{2}} \cdot (2 n^{2} - n^{2} + n) = \frac{2}{n^{2}} \cdot (n^{2} + n) = 2 + \frac{2}{n}

Jetzt gilt

lim_{n \to \infty} O_{n} = lim_{n \to \infty} (2 + \frac{2}{n}) = 2

Also wird wohl gelten

\int_{0}^{2} (2 - x) d x = 2

.
Die Untersumme solltest du jetzt alleine hinkriegen.

Blabliblub2 aktiv_icon

13:53 Uhr, 23.08.2011

Hm... Danke :-)

Ich muss allerdings sagen, dass ich nichts verstanden habe.
Ich befürchte ich habe nicht das nötige Grundwissen um das zu verstehen, was du mir da vorgerechnet hast.
Es fängt schon bei "b= 2/n" an... und hört bei komischen "Zeichen" auf.
(Verzeihung wenn ich hier so ohne jegliches Fachwissen bin)

Wir sind erst ganz am Anfang von Integralrechnung und wir haben es kaum erklärt bekommen... mir sind diese mathematischen "Glyphen" nicht geläufig und ich peils nicht mal ein bisschen.

Trotzdem vielen lieben Dank.

Über verständlichere Lösungsvorschläge wäre ich dankbar :-)

Shipwater aktiv_icon

14:20 Uhr, 23.08.2011

Übers Internet kann man eben nicht so gut erklären. Lies in deinem Mathebuch nach und frag am besten den Lehrer.

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