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Integralübung

Schüler

Tags: Bruch

Visocnik aktiv_icon

11:56 Uhr, 22.05.2017

Mir scheint, die Aufgaben werden immer schwerer:
Aufgabe:

\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 3}}

Ich bin mir schon beim Start nicht sicher, wie ich zerlegen muss, um gut voranzukommen!

x^{2} + 2 x - 3 = (x - 1) \cdot (x + 3)

oder

x^{2} + 2 x - 3 = {(x + 1)}^{2} - 4

Was soll ich hier am besten als

u

bezeichnen, um zu substituieren?

Oder bin ich da ganz falsch?
Danke schon im Voraus für eure geopferte Zeit für mich. Vielen lieben Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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12:09 Uhr, 22.05.2017

Schaus dir am besten hier an:
http//www.integralrechner.de/

Verdammt happige Aufgaben für einen Schüler, finde ich. :-)

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12:12 Uhr, 22.05.2017

Ja, du hast recht uzw. ganz recht. Für eine

11

. Schulstufe happig!!! Obwohl ich es nicht ungern tue. Ich habe den Online-Rechner schon benutzt, aber da heißt es:
Sustituiere

u = \frac{x + 1}{2}

Mir fehlt der Durchblick - woher nimmt der Rechner das? Ansonsten wäre die Aufgabe ja nicht so schwer. Aber herauszufinden was

u

ist - mir fehlt der Transparentblick, hi!
Sehr lieb von dir mir zu antworten. Ich hoffe, es kommen bald andere Aufgaben, wie Flächenberechnung undgl. mehr! Da hoffe ich ja dann auch wieder auf deine Unterstützung. Danke!

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12:20 Uhr, 22.05.2017

Das wüsste ich auch gern! :-)
Das muss dir ein Profi erklären. Bei dieser Art von Intergration bin ich überfordert, da ich sie nie gelernt habe in der Schule.
Hab also etwas Geduld, bis Roman,Ledum, Bummerang etc. auftauchen/Zeit haben.

funke_61 aktiv_icon

12:24 Uhr, 22.05.2017

x^{2} + 2 x - 3 = {(x + 1)}^{2} - 4

wie Du oben schon geschrieben hast.
Um auf die Form

\frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}

zu kommen, wird aus der quadratischen Ergänzung die vier ausgeklammert:

{(x + 1)}^{2} - 4 = 4 (\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + 1) = 4 ({(\frac{x - 1}{2})}^{2} - 1)

Schreib diesen Ausdruck unter die Wurzel im Nenner und ziehe die vier als

2^{2}

aus der Wurzel heraus . . .
;-)

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12:32 Uhr, 22.05.2017

Zuerst einmal vielen vielen Dank für den Lichtblick und Einblick, lieber funke!

Entschuldige - es hat ein wenig länger gedauert, um diesen komplizierten Vorgang zu begreifen. Und das alles nur, um zur Standardformel

\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}})

zu gelangen, oder? Da muss man aber einen fast unendlichen Weitblick besitzen und die Aufgabe völlig durchschauen. Dass Schüler hier selber draufkommen - na vielleicht bei der Matheolympiade!

funke_61 aktiv_icon

12:33 Uhr, 22.05.2017

so ist es :-) immer wenn Du einen "quadratischen Term" unter einer Quadratwurzel im Nenner hast, deutet es darauf hin, dass Du für die Integration die Form

\frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}

bzw.

\frac{1}{\sqrt{u^{2} + 1}}

durch quadratische Ergänzung und Ausklammern erzwingen musst.
;-)

Visocnik aktiv_icon

12:42 Uhr, 22.05.2017

Danke für die ehrliche Antwort!
Jetzt also substituieren

u = \frac{x + 1}{2}

\int \frac{1}{\sqrt{4 u^{2} - 1}}

Da stört mich jetzt die

4!

Ich komme nicht zum Standardintegral

\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}

Christian- aktiv_icon

12:55 Uhr, 22.05.2017

Moin Visocnik,

wenn dich die 4 so sehr stört, dann könntest du sie ausklammern.

\int \frac{1}{\sqrt{4 u^{2} - 1}} d u

\Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{4 (u^{2} - \frac{1}{4})}} d u

\Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{u^{2} - \frac{1}{4}}} d u |

Bruch auseinanderziehen

\Rightarrow \int \frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \frac{1}{\sqrt{u^{2} - \frac{1}{4}}} d u

\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - \frac{1}{4}}} d u

\Rightarrow

So hättest du wenigstens die 4 herausgelöst.
Ist aber dieses Vorgehen nützlich?

Roman-22

13:18 Uhr, 22.05.2017

Eigentlich wurde dir ja schon geschrieben, wie du auf die Substitution kommst und du selbst hast je bereits richtig mit quadratischer Ergänzung begonnen

x^{2} + 2 x - 3 = {(x + 1)}^{2} - 4 = (⋆)

Da steht ja jetzt schon mal ein

u^{2} - 4,

wie wollen aber ein

u^{2} - 1,

also klammern wir die 4 aus

(\cdot) = 4 \cdot [\frac{{(x + 1)}^{2}}{4} - 1] = (⋆ ⋆)

und jetzt noch die 4 im Nenner in die Klammer rein

(⋆ ⋆) = 4 \cdot [{(\frac{x + 1}{2})}^{2} - 1]

Jetzt solltest du die Substitution

u = \frac{x + 1}{2}

sehen, auch ohne matheolypiadereif zu sein.

Jetzt das ganze Integral (und bitte immer MIT Differential, hier

d x)

\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 3}} = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{d x}{\sqrt{{(\frac{x + 1}{2})}^{2} - 1}} = (⋆ ⋆ ⋆)

Jetzt Substitution:

u = \frac{x + 1}{2} \to d x = 2 \cdot d u

(⋆ ⋆ ⋆) = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2 d u}{\sqrt{u^{2} - 1}} = \int \frac{d u}{\sqrt{u^{2} - 1}} = a r c o s h (u) + C

ODER

= ln (u + \sqrt{u^{2} - 1}) + C

Dann Rücksubstitution,
Das alles gilt natürlich nur für

x \geq 1

Bummerang

13:19 Uhr, 22.05.2017

Hallo,

"Mir fehlt der Durchblick - woher nimmt der Rechner das? Ansonsten wäre die Aufgabe ja nicht so schwer. Aber herauszufinden was

u

ist - mir fehlt der Transparentblick, hi!"

Der Rechner denkt sich: Wäre schön, wenn man das

x^{2} + 2 \cdot x - 3

in die Form

a \cdot (u^{2} - 1)

bringen könnte. Dazu ermittelt er die Nullstellen

- 3

und 1 und will jetzt das so verschieben, dass die binomische Formel passt:

(x + 3) \cdot (x - 1)

= ((x + 1) + 2) \cdot ((x + 1) - 2)

= {(x + 1)}^{2} - 4

Jetzt kommt bei Anwendung der binomischen Formel nicht

- 1

sondern

- 4

raus, also muss er die 4 rauskriegen aus dem

{(x + 1)}^{2}

. Aber wenn dort der Faktor 4 rausgenommen wird, muss man auch durch 4 teilen, sonst stimmt das Ganze nicht mehr. Und wenn man das Quadrat durch 4 teilt, dann muss man

u

selbst durch 2 teilen. Also denkt der Rechner:

= 4 \frac{{(x + 1)}^{2}}{4} - 4

= 4 \cdot (\frac{{(x + 1)}^{2}}{4} - 1)

= 4 \cdot ({(\frac{x + 1}{2})}^{2} - 1)

und schon hat der Rechner sein

u = \frac{x + 1}{2}

.

PS: @funke_61

In Deinem Beitrag von

12 : 24

Uhr hast Du einen Vorzeichenfehler eingebaut! Da wird aus

(x + 1)

plötzlich

(x - 1)

und das ist falsch!

funke_61 aktiv_icon

13:20 Uhr, 22.05.2017

nein. Jetzt sind wir total im Wald gelandet.
wir gehen von

\int \frac{1}{\sqrt{4 ({(\frac{x + 1}{2})}^{2} - 1)}} d x

aus. Nun die "vier" aus der Wurzel rausholen:

\int \frac{1}{2 \sqrt{{(\frac{x + 1}{2})}^{2} - 1}} d x

die

\frac{1}{2}

kann un vor das Integral gezogen werden:

\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{x + 1}{2})}^{2} - 1}} d x

;-)
ok - war leider etwas spät dran . . .

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13:24 Uhr, 22.05.2017

"Der Rechner denkt sich: Wäre schön, wenn man das x2+2⋅x−3 in die Form a⋅(u2−1) bringen könnte."

Und wie kommt der Rechner auf diesen Gedanken? :-)

Bummerang

13:24 Uhr, 22.05.2017

Hallo funke_61,

etwas spät und etwas falsch! Siehe mein PS eben!

Bummerang

13:26 Uhr, 22.05.2017

Hallo supporter,

"Und wie kommt der Rechner auf diesen Gedanken? :-)"

Er kennt eine Menge Grundintegrale und darunter das für

\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}

. Deshalb denkt er das!

funke_61 aktiv_icon

13:27 Uhr, 22.05.2017

ja, sorry, habe es in meinem letzten Beitrag gerade noch korrigieren können. Mein Beitrag von ca.

12 : 30

Uhr kann ich nicht mehr korrigieren.

funke_61 aktiv_icon

13:27 Uhr, 22.05.2017

ja, sorry, habe es in meinem letzten Beitrag gerade noch korrigieren können. Mein Beitrag von ca.

12 : 30

Uhr kann ich nicht mehr korrigieren.

Bummerang

13:29 Uhr, 22.05.2017

Hallo supporter,

"Und wie kommt der Rechner auf diesen Gedanken? :-)"

Er kennt eine Menge Grundintegrale und darunter das für

\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}

. Ausserdem weiss er, dass man alle Terme der Form

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c,

die zwei reelle Nullstellen haben, in die Form

\frac{1}{\sqrt{a \cdot d \cdot (u^{2} - 1)}} = \frac{1}{\sqrt{a \cdot d}} \cdot \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}

bringen kann. Deshalb denkt er das!

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13:41 Uhr, 22.05.2017

Ich bedanke mich bei allen Helfern ganz ganz herzlich. Für mich bleibt das einfach eine schwere Aufgabe, die nicht so leicht zum Lösen ist. Das Verständnis zur Lösung ist bei mir gut angekommen. Danke, danke an

a l l e

die mir so liebevoll beigestanden sind. Und schon hänge ich bei der nächsten!
Ganz liebe Grüße an EUCH ALLE

B

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14:00 Uhr, 22.05.2017

Rechner müsste man sein, nicht Schüler. Danke, Bummerang.
Das alte Problem: Wie kommt Otto-Normalmathematiker oder der gemeine Schüler auf sowas?

Roman-22

14:30 Uhr, 22.05.2017

>

Das alte Problem: Wie kommt Otto-Normalmathematiker oder der gemeine Schüler auf sowas?
Die Frage ist doch eher, warum man es für nötig hält, dass ein Schüler überhaupt auf sowas kommen soll. War schon zu Zeiten ausführlicher Integraltabellen nicht ganz unproblematisch (da musste man aber immerhin noch den Typ des Integranden richtig erkennen) und ist im Zeitalter leistungsstarker Algebrasysteme, die auch auf TR und handy verfügbar sind, umso hinterfragenswerter.

Wär wichtiger, dass ein Schüler bei einer Anwendungsaufgabe, die dann ruhig komplexer und realistischer als die heute üblichen "Praxis" Schulaufgabe sein dürfte, erkennt, was er, um zur Lösung zu kommen, mit welcher Funktion anstellen muss. Und wenns integrieren ist, sehe ich kein Problem damit, diese langweilige Routineaufgabe einem elektronischen Rechenknecht zu überantworten. Die geeignete Interpretation der Lösung obliegt dann wieder dem Anwender.
Ein derartiger Ansatz würde natürlich die Kluft zwischen leistungsstarken und schwachen Schülern weiter vergrößern, das die willigen, aber weniger begabten Schüler dann der Möglichkeit, sich durch Auswendiglernen und braves mechanisches Runterrechnen die positive Note zu verdienen, beraubt werden würden.
Aber wär das so schlimm? Muss wirklich jeder Abi haben um dann arbeitslos zu werden? Würden wir nicht auch ein paar brauchbare Handwerker mehr sehr zu schätzen wissen?

Aber derzeit ist das offenbar keine Frage - der Schüler muss es können, weils zur Klausur kommt.

Bummerang

14:35 Uhr, 22.05.2017

Hallo supporter,

"Das alte Problem: Wie kommt Otto-Normalmathematiker oder der gemeine Schüler auf sowas?"

Einfache Lösung! Die Lehrkraft und das Lehrmaterial müssen das vermitteln, dass man bei quadratischen Termen mit zwei Nullstellen dies immer kann und dann muss man sich nur den Weg merken, wie man das

u

findet oder man stellt sich eine Formel dafür her:

\frac{1}{\sqrt{a \cdot x^{2} + b \cdot x + c}};

mit zwei reellen Nullstellen des Terms

a \cdot x^{2} + b \cdot x + c \Leftrightarrow b^{2} - a \cdot c > 0

= \frac{1}{a \cdot (x - (- \frac{b}{2 \cdot a} - \frac{\sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a})) \cdot (x - (- \frac{b}{2 \cdot a} + \frac{\sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}))};

Mitternachtsformel und Faktorform

= \frac{1}{a \cdot (x + \frac{b}{2 \cdot a} + \frac{\sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}) \cdot (x + \frac{b}{2 \cdot a} - \frac{\sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a})}

= \frac{1}{a \cdot ({(x + \frac{b}{2 \cdot a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a})}^{2})}

= \frac{1}{a \cdot {(\frac{\sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a})}^{2} \cdot ({(x + \frac{b}{2 \cdot a})}^{2} \cdot {(\frac{2 \cdot a}{\sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}})}^{2} - 1)}

= \frac{1}{a \cdot {(\frac{\sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a})}^{2} \cdot ({(\frac{2 \cdot a \cdot x + b}{\sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}})}^{2} - 1)}

Und jetzt kann man sich merken, dass

x

durch

u

substituiert wird nach der Regel:

u = \frac{2 \cdot a \cdot x + b}{\sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}

Doch wer möchte das auswendig lernen?

Im obigen Beispiel war es so, dass

a = 1, b = 2

und

c = - 3

war, was eingesetzt ergibt:

u = \frac{2 \cdot 1 \cdot x + 2}{\sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}} = \frac{2 \cdot x + 2}{\sqrt{4 + 12}} = \frac{2 \cdot x + 2}{\sqrt{16}} = \frac{2 \cdot x + 2}{4} = = \frac{x + 1}{2}

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