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Integration Rekursionsformel

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Integration

Tags: Integration

anonymous

14:34 Uhr, 14.05.2015

Hey ich soll zu dem Integral

\int_{} {(1 - x^{2})}^{n} d x

eine allgemeien Rekusrionsformel aufstellen.

Erst habe ich versucht das ganze mit Produktintegration zu lösen aber da kürzt sich das

x

aus dem hinteren Teil nicht raus und das hat nicht viel gebracht

. .

.

Dann habe ich versucht:

x = sin (z)

\frac{d x}{d z} = cos (z) \Leftrightarrow d x = d z cos (z)

\int_{} {cos (z)}^{n + 1} d z

Das kann ich dann ganz normal zu dem Ausdruck

(n + 2) {(1 - x^{2})}^{n + 2} x

integrieren. Allerdings ist das ja auch keine Rekursive Vorschrift

. .

. Hat da wer anders eine Idee oder habe ich einen Fehler gemacht bzw. kann ich meinen letzten Ausdruck noch weiter "verarbeiten" ?

mfg Keksever

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

14:46 Uhr, 14.05.2015

_Hallo
1.

1 - x \land 2

kannst du integrieren. integral

= F

jetzt

(1 - x^{2}) 2

mal partiell ergibt so was wie

F \cdot (1 - x^{2}) - F \cdot 2 x + 2 F

bitte nachrechnen ich habs schnell überschlagen.
nenn das

F_{2}

und rechne damit

F_{3}

aus , entsprechend dann aus

F_{n} F_{n + 1}

anderer Weg, nimm an du kennst das Integral von

{(1 - x^{2})}^{n - 1}

dann partiell integrieren

{(1 - x^{2})}^{n - 1} \cdot (1 - x^{2})

liefert direkt die Rekursionsformel
derselbe Weg mit

{cos}^{n} (x)

Gruß ledum

anonymous

15:02 Uhr, 14.05.2015

Hey ledum danke erst einmal für deine Antwort. Ich muss sagen, dass ich leider nicht verstanden habe wie du das meinst.

Wenn wir Weg 2 nehmen,

d . h

. einfach davon ausgehen, dass wir das Integral von

{(1 - x^{2})}^{n - 1}

kennen. Soll ich das dann einfach partiell integrieren?

Wie kann ich das ganze mit dem

cos

machen?

mfg Keksever

ledum aktiv_icon

15:54 Uhr, 14.05.2015

Hallo
du nimmst an du kennst die Stammfunktion von

{(1 - x^{2})}^{n - 1}

ich nenne sie

F_{n - 1} (x)

dann musst du

\int (F_{n - 1})' \cdot (1 - x^{2}) d x

nur 2 mal partiell integrieren um

F_{n}

zu finden. und musst nur noch F_1angeben.
dasselbe miit

{cos}^{n} (x)

wieder

\int {cos}^{n - 1} (x) = G_{n - 1} (x)

bekannt

anonymous

12:40 Uhr, 15.05.2015

Okay ich habe jetzt folgendes gemacht:

\int_{} {(1 - x^{2})}^{n} (1 - x^{2}) d x =

\frac{{(1 - x^{2})}^{n}}{- 2 x n} (1 - x^{2}) - \frac{1}{n} \int 1 {(1 - x^{2})}^{n} d x

\int 1 {(1 - x^{2})}^{n} d x = x {(1 - x^{2})}^{n} + 2 n \int x^{2} {(1 - x^{2})}^{n - 1} d x

Also gilt

: \int_{} {(1 - x^{2})}^{n} (1 - x^{2}) d x = \frac{{(1 - x^{2})}^{n}}{- 2 x n} (1 - x^{2}) - \frac{1}{n} (x {(1 - x^{2})}^{n} + 2 n \int x^{2} {(1 - x^{2})}^{n - 1} d x)

Aber was soll ich jetzt damit anstellen? Ist das schon meine Formel?

F 1

habe ich schon bestimmt

Gruß keksever

anonymous

12:46 Uhr, 15.05.2015

Evtl. Alternativlösung? :

\int 1 {(1 - x^{2})}^{n} d x =

x {(1 - x^{2})}^{n} - 2 n \int - x^{2} {(1 - x^{2})}^{n - 1} d x =

x {(1 - x^{2})}^{n} - 2 n \int (- x^{2} + 1 - 1) {(1 - x^{2})}^{n - 1} d x =

x {(1 - x^{2})}^{n} - 2 n \int {(1 - x^{2})}^{n} - {(1 - x^{2})}^{n - 1} d x

Wie sieht das aus?

Bummerang

17:49 Uhr, 15.05.2015

Hallo,

ich denke, dass die Lösung so gemeint ist:

I_(n+1)

= \int {(1 - x^{2})}^{n + 1} d x = \int {(1 - x^{2})}^{n} \cdot (1 - x^{2}) d x

= \int {(1 - x^{2})}^{n} d x + \int {(1 - x^{2})}^{n} \cdot (- x^{2}) d x

= I_n

+ \frac{1}{2 \cdot (n + 1)} \cdot \int (n + 1) \cdot {(1 - x^{2})}^{n} \cdot (- 2 \cdot x) \cdot x d x

= I_n

+ \frac{1}{2 \cdot n + 2} \cdot [{(1 - x^{2})}^{n + 1} \cdot x - \int {(1 - x^{2})}^{n + 1} d x]

= I_n

+ \frac{1}{2 \cdot n + 2} \cdot {(1 - x^{2})}^{n + 1} \cdot x - \frac{1}{2 \cdot n + 2} \cdot \int {(1 - x^{2})}^{n + 1} d x

= I_n

+ \frac{1}{2 \cdot n + 2} \cdot {(1 - x^{2})}^{n + 1} \cdot x - \frac{1}{2 \cdot n + 2} \cdot

I_(n+1)

\Rightarrow

(1 + \frac{1}{2 \cdot n + 2}) \cdot

I_(n+1) = I_n

+ \frac{1}{2 \cdot n + 2} \cdot {(1 - x^{2})}^{n + 1} \cdot x

\frac{2 \cdot n + 3}{2 \cdot n + 2} \cdot

I_(n+1) = I_n

+ \frac{1}{2 \cdot n + 2} \cdot {(1 - x^{2})}^{n + 1} \cdot x

I_(n+1)

= \frac{2 \cdot n + 2}{2 \cdot n + 3}

I_n

+ \frac{2 \cdot n + 2}{2 \cdot n + 3} \cdot \frac{1}{2 \cdot n + 2} \cdot {(1 - x^{2})}^{n + 1} \cdot x

I_(n+1)

= \frac{2 \cdot n + 2}{2 \cdot n + 3}

I_n

+ \frac{1}{2 \cdot n + 3} \cdot {(1 - x^{2})}^{n + 1} \cdot x

Zur Kontrolle:

I_0

= \int {(1 - x^{2})}^{0} d x = \int 1 d x = x

n = 0 :

I_1 = I_(0+1)

= \frac{2 \cdot 0 + 2}{2 \cdot 0 + 3} \cdot

I_0

+ \frac{1}{2 \cdot 0 + 3} \cdot {(1 - x^{2})}^{0 + 1} \cdot x

I_1

= \frac{2}{3} \cdot x + \frac{1}{3} \cdot {(1 - x^{2})}^{1} \cdot x

I_1

= \frac{2}{3} \cdot x + \frac{1}{3} \cdot (x - x^{3})

I_1

= \frac{2}{3} \cdot x + \frac{1}{3} \cdot x - \frac{1}{3} \cdot x^{3}

I_1

= x - \frac{1}{3} \cdot x^{3}

n = 1 :

I_2 = I_(1+1)

= \frac{2 \cdot 1 + 2}{2 \cdot 1 + 3} \cdot

I_1

+ \frac{1}{2 \cdot 1 + 3} \cdot {(1 - x^{2})}^{1 + 1} \cdot x

I_2

= \frac{4}{5} \cdot (x - \frac{1}{3} \cdot x^{3}) + \frac{1}{5} \cdot {(1 - x^{2})}^{2} \cdot x

I_2

= \frac{4}{5} \cdot x - \frac{4}{15} \cdot x^{3} + \frac{1}{5} \cdot (1 - 2 \cdot x^{2} + x^{4}) \cdot x

I_2

= \frac{4}{5} \cdot x - \frac{4}{15} \cdot x^{3} + \frac{1}{5} \cdot x - \frac{2}{5} \cdot x^{3} + \frac{1}{5} \cdot x^{5}

I_2

= x - \frac{10}{15} \cdot x^{3} + \frac{1}{5} \cdot x^{5}

I_2

= x - \frac{2}{3} \cdot x^{3} + \frac{1}{5} \cdot x^{5}

anonymous

13:59 Uhr, 16.05.2015

Hey wie kommst du von Zeile 1 auf Zeile 2 ? Das verstehe ich nicht ganz

. .

.

Wie siehts denn mit meiner "Alternativlösung" aus. Kann man da was draus machen?

mfg

Bummerang

19:33 Uhr, 16.05.2015

Hallo,

"Hey wie kommst du von Zeile 1 auf Zeile 2 ? Das verstehe ich nicht ganz

. .

. "

Wenn Du daran schon scheiterst, dann habe ich berechtigte Zweifel, dass Du vom Rest alles verstehst!

\int {(1 - x^{2})}^{n} \cdot (1 - x^{2}) d x;

Distributivgesetz

= \int {(1 - x^{2})}^{n} \cdot 1 + {(1 - x^{2})}^{n} \cdot (- x^{2}) d x;

Linearität des Integraloperators

= \int {(1 - x^{2})}^{n} \cdot 1 d x + {(1 - x^{2})}^{n} \cdot (- x^{2}) d x

"Wie siehts denn mit meiner "Alternativlösung" aus. Kann man da was draus machen?"

Da kann ich Dir fast Dein Kompliment zurückgeben:

"Hey wie kommst du von Zeile 1 auf Zeile 2 ? Das verstehe ich ganz und gar nicht!"

anonymous

21:16 Uhr, 16.05.2015

Ja da

+ 1 - 1 = 0

kannst du das einfügen und die Gleichung dann umformen das passt.

Von der linearität eines Integraloperators habe ich noch nie etwas gehört. Der Rest ist natürlich klar, mich hat nur interssiert wie man darauf kommt.

mfg

anonymous

21:16 Uhr, 16.05.2015

Ja da

+ 1 - 1 = 0

Roman-22

21:27 Uhr, 16.05.2015

x \cdot {(1 - x^{2})}^{n} - 2 n \cdot \int {(1 - x^{2})}^{n} - {(1 - x^{2})}^{n - 1} d x

Wie sieht das aus?
"

Das sieht sehr gut aus. Wenn du jetzt noch weiter rechnest, das Integral in zwei Integrale aufteilst (Linearität) und das Ganze dann als Gleichung im gesuchten Integral auffasst, erhältst du

\int {(1 - x^{2})}^{n} d x = \frac{1}{2 n + 1} \cdot (x \cdot {(1 - x^{2})}^{n} + 2 n \cdot \int {(1 - x^{2})}^{n - 1} d x)

" Von der linearität eines Integraloperators habe ich noch nie etwas gehört.
Das glaube ich nicht, du lässt dich nur von der Terminologie verunsichern. Ich bin fest davon überzeugt, dass dir

\int ((f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

geläufig ist!

anonymous

13:18 Uhr, 17.05.2015

Habe es auch so gemacht

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Danke an Alle! Habt sehr geholfen

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